RPM 41 - Painéis

Há milhares de anos que o cálculo de

tem atraído muitos estudiosos. É um cálculo que está longe de ser desinteressante, pois é sempre acompanhado de bonitas fórmulas e algoritmos. Nosso objetivo é mostrar um pouco do que tem sido esse cálculo nos últimos anos, atualizando o artigo Pi acaba? da RPM 19.

Em 1995, J. Borwein e P. Borwein descobriram uma seqüência com convergências muito mais rápidas do que a mencionada na RPM 19. Seja a seqüência

definida por:

A convergência dessa seqüência é tão rápida que o seu terceiro termo, a₃, fornece o valor de 1/

com 170 casas decimais corretas. Essa seqüência foi usada em outubro de 1995 pela dupla Takahashi e Kanada da Universidade de Tóquio para calcular

com 6,4 bilhões de casas decimais. A dupla Takahashi-Kanada vem mantendo o recorde atual no cálculo de . Em abril de 1999 eles anunciaram um cálculo com 68,7 bilhões de casas decimais que demorou 32 horas em um supercomputador Hitachi SR2201.

Ainda em 1995, D. Bailey, P. Borwein e S. Plouffe desenvolveram um surpreendente algoritmo. Usando o sistema hexadecimal (base 16) e a fórmula

eles mostraram ser possível calcular o n-ésimo dígito hexadecimal de sem a necessidade de calcular os

dígitos anteriores. Trata-se de algo tão espetacular que não foi nem ao menos conjeturado no passado. Não existe ainda um resultado similar na base 10.

Certamente em aplicações à engenharia ou científicas de um modo geral, não há necessidade de bilhões de casas decimais. Sabe-se que um valor de

com “apenas” 40 casas decimais permitiria calcular o comprimento de uma circunferência de diâmetro igual ao da nossa galáxia com erro inferior ao diâmetro de um átomo. Uma aplicação do cálculo do valor de

com número elevado de casas decimais é testar a integridade de programas e de computadores recém-fabricados: qualquer falha ou desajuste durante o cálculo seria detectado no final, já que o resultado é conhecido a priori.

Além disso, as fórmulas usadas nos cálculos de

não surgem do nada, como em um passe de mágica. Elas são parte de teorias que se desenvolvem com a precisão dos cálculos e podem levar a aplicações ou desenvolvimentos de outras áreas do conhecimento. Por exemplo, o uso de transformadas rápidas de Fourier (FFT) em cálculos aritméticos de altíssima precisão teve origem no esforço para acelerar o cálculo de

em meados dos anos 60. Hoje, o uso de FFT por programas que trabalham com números elevados de casas decimais é rotineiro.

Apresentamos aqui alguns recordes recentes no cálculo de . Veja a RPM 19 para uma listagem dos recordes anteriores.

Referências bibliográficas

[1] Adamchik, V., Wagon, S. A simple formula for e Almkvist, G. Many correct digits of , revisited, American Mathematical Monthly 104, 1997, pp. 852-854, pp. 352-353.
[2] Bailey, D.H., Borwein, J.M., Borwein, P.B. Plouffe, S. The quest for Pi, The Matematical Intelligencer 19, 1997, pp. 50-57.
[3] Bongiovanni, V., Watanabe, R. Pi acaba?, RPM 19, pp. 1-7.
[4] Hirschhorn, M.D. A new formula for , Gazette Austral. Math. Soc. 25, 1998, pp. 82-83.
[5] Lima, E.L. O que é o número ?, RPM 6, 1985, pp. 18-20.

Painel II: Símbolos e notações matemáticas

Jacir J. Venturi

Símbolos em Matemática são como sal numa sopa: se colocar demais, estraga, se colocar de menos, fica sem gosto.[1]

Até o século XVI, expressões matemáticas eram escritas de forma excessivamente verbal ou retórica. Por exemplo, em 1591, Viète, para representar a equação , escrevia em bom latim:

5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0.

No século XVI a linguagem simbólica ganhou um grande impulso. William Oughtred (1574-1660), em três de seus livros, usou mais de 150 símbolos, muitos criados por ele. Destes, porém, poucos permanecem em uso.

A implementação de alguns símbolos usados hoje em dia foi acontecendo naturalmente ao longo de décadas ou séculos, sob a égide da praticidade e do pragmatismo. Pouco pode se afirmar com precisão sobre essa evolução. Outros símbolos, graças ao prestígio de seus criadores, tiveram aceitação imediata. Como exemplo desses últimos podemos citar alguns símbolos criados por Leonhard Euler (1707-1783): · , para indicar “função de x” ; · , “ somatória” (o símbolo é a letra maiúscula grega, sigma, que corresponde ao nosso S); · i , “unidade imaginária”, representada também por ; · e , base dos logaritmos neperianos, igual a 2,718 .... A letra , embora usada por William Jones em 1706, teve o seu emprego consagrado por Euler.

Símbolos de operações

Uma explicação razoável é que, até então, a adição de dois números, por exemplo 3 + 2, era representada por 3 et 2. Com o passar dos anos a conjunção latina et foi sincopada para t, da qual se originou, no fim do século XV, o sinal +.

Símbolo

Apareceu pela primeira vez em 1481, em um manuscrito alemão. Na forma impressa, apareceu pela primeira vez em 1498. Há várias hipóteses, nenhuma confirmada, quanto à origem do símbolo.

Símbolo x

O primeiro uso do símbolo x para indicar multiplicação deve-se a William Oughtred (1618). Leibniz temia que x pudesse ser confundido com x. Em 1698 ele sugeriu o uso do “ponto” como sinal de multiplicação.

Símbolo

A notação a : b é atribuída a Leibniz (1648). O símbolo

foi usado pela primeira vez por J. H. Rahn em 1659.

Símbolos < e >

Foram introduzidos pelo inglês Thomas Harriot (1631 – numa publicação póstuma) com o significado atual. Porém os símbolos

foram introduzidos mais tarde, em 1734, pelo francês Pierre Bouger.

Símbolo

Apareceu impresso, pela primeira vez, em 1525 no livro Die Coss (1525) do matemático C. Rudolff. O símbolo pode ter sido escolhido pela sua semelhança com a primeira letra da palavra latina radix (raiz). Uma outra hipótese é que ele seja uma evolução do símbolo

usado em manuscritos mais antigos para designar uma raiz.

Símbolo =

Este sinal foi introduzido por Robert Recorde (~1557)., ... bicause noe.2.thynges, can be moare equalle...(... porque nenhum par de coisas pode ser mais igual (do que um par de paralelas) ).

[1] Cajori, F. A history of mathematical notations. The Open Court Publishing Company, Chicago, Illinois, 1928.