RPM 40 - A área do círculo

Nesta nota apresentamos um método prático que pode ser utilizado em sala de aula para deduzir a fórmula da área do círculo conhecendo-se o valor do seu raio. Realizamos tal experimento com sucesso na ocasião em que participamos do PEC – Programa de Educação Continuada da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.

O material necessário para a aplicação do método consiste em um rolo de papel (papel toalha ou papel higiênico), uma tesoura ou um estilete e um pedaço de fita adesiva. Dividimos o processo em três etapas – primeiro “convencemos” o aluno que podemos transformar uma coroa circular num trapézio de mesma área; em seguida calculamos a área do trapézio em função dos raios da coroa; finalmente observamos que a medida em que o raio interno da coroa “tende” a zero, a coroa “tende” ao círculo e as áreas dos trapézios correspondentes “tendem” ao número esperado.

1^a etapa: Tome um rolo de papel e passe a fita adesiva, como na figura. Em seguida, com uma tesoura afiada, ou estilete, corte folha por folha (ou grupos com poucas) em linha reta como ilustrado na figura abaixo.

“Descasque” o rolo até chegar no cilindro de papelão duro, localizado no centro. Não corte esse papelão, pois ele servirá para moldar o rolo quando da sua reconstituição.

Agora, com todas as folhas cortadas, você poderá mostrar à sua classe como a coroa circular (base do rolo de papel) se transforma num trapézio. Ilustramos com a seqüência de figuras abaixo:

A primeira figura representa o rolo de papel com parte de suas folhas cortadas, apoiadas sobre a superfície da mesa. Nas outras figuras representamos o trapézio (e o prisma) obtido.

Em seguida você pode mostrar o processo inverso: a transformação do trapézio numa coroa circular, retornando o rolo à sua forma original. Podemos, com isso, “convencer” o aluno de que a área de uma coroa circular pode ser determinada calculando-se a área de um trapézio.

2^a etapa: Calculemos a área da coroa. Sejam r o raio da circunferência interna e R o raio da externa. Voltando-se ao processo físico da transformação da coroa no trapézio, observa-se que a base maior do trapézio, obtida com a folha externa do rolo, tem comprimento 2R e a base menor, obtida com a folha interna do rolo, tem comprimento 2r. A altura do trapézio é . Assim, a área do trapézio ou, equivalentemente, da coroa será:

Observe que é a diferença entre dois números independentes um do outro. O número depende apenas do círculo maior, e depende apenas do círculo menor. Como a área da coroa deve ser a diferença entre as áreas dos círculos, temos aqui uma sugestão de que a área de cada um dos círculos envolvidos é vezes o quadrado de seu raio. Mas o fato de o número A se apresentar como diferença de dois números não prova que a área do círculo maior é e a do círculo menor é . Veja que o mesmo número A pode ser escrito como

onde k é qualquer número real, e os valores e não representam nenhuma área por estarem indeterminados com a variação de k.

3^a etapa: Nessa última etapa devemos levar o aluno a pensar no círculo de raio R como sendo a figura obtida da coroa diminuindo-se o raio interno r até zero. Pode-se pensar numa seqüência de valores para r, que decresça e se aproxime de zero. As áreas das coroas correspondentes serão dadas por e observamos que:

ou o limite quando r tende a zero de é igual .

Assim, confirmamos que a área do círculo de raio R é dada por . Como em todo método de dedução dessa fórmula, não pudemos evitar o uso do conceito de limite, mas acreditamos tê-lo feito de forma bastante natural e prática.

Finalmente observamos que esse mesmo material pode ser usado para estudar o cilindro reto. Veja que o volume do rolo de papel é o mesmo volume de um prisma reto cuja base é o trapézio já estudado.

Waldemar Donizete Bastos é licenciado em Matemática pela UNESP de São José do Rio Preto, onde é professor desde 1986. É mestre pela UnB e doutor pela Universidade de Minnesota, EUA.

Aparecida Francisco da Silva é licenciada em Matemática pela UNESP de São José do Rio Preto, onde é professora desde 1987. É doutora em Matemática pela UNICAMP.