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Antonio
Carlos Tamarozzi
É
conhecido o fato de que matrizes triangulares, aquelas em que todos os
elementos abaixo ou acima da diagonal principal são nulos, têm seu
determinante dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. Por
exemplo, no caso da matriz triangular superior de ordem 3 abaixo
Assim
sendo, uma técnica muito utilizada para o cálculo do determinante de uma
matriz é reduzi-la à forma triangular através de “operações básicas”
que preservam o determinante original, ou pelo menos seu módulo. Tais
operações consistem em trocas de linhas ou colunas ou, ainda, multiplicação
de uma linha (coluna) qualquer por um número real não nulo e consecutiva
adição a outra linha (coluna), operações essas descritas no resultado
conhecido por Teorema de Jacobi. Vamos
descrever neste artigo a forma triangular
em blocos, também muito conveniente para cálculo de determinantes.
Trata-se de uma generalização da forma triangular, com a vantagem de
requerer a produção de um número menor de zeros e portanto de um esforço
operacional menor na sua obtenção.
O
que vamos mostrar é que
Um
bloco ou submatriz de uma matriz A
de ordem n é qualquer matriz
Uma
forma prática de obter submatrizes de
A
é considerar partições simultâneas de linhas e colunas. O
exemplo a seguir mostra uma matriz genérica de ordem
6 particionada por
algumas submatrizes.
Finalmente
podemos escrever a definição: Uma
matriz está na forma triangular superior (inferior)
em blocos se todos os elementos abaixo (acima) dos blocos diagonais são nulos.
Consideremos
matrizes triangulares em blocos do tipo
sendo
A e
D
blocos quadrados de ordens m
e n respectivamente (m
e n naturais maiores ou
iguais a 1) e O a matriz nula de
ordem
(i)
Usamos as “operações
básicas” nas primeiras m linhas
e m
colunas de M para transformar
A
numa matriz triangular superior. Essas operações transformam a
matriz B
em uma modificada
(ii)
Usamos as “operações básicas” nas últimas
n
linhas e
n
colunas de M para transformar D
numa matriz triangular superior. Essas operações não alteram a
forma triangular obtida para A,
apenas transformam a matriz
se k
é o número de trocas efetuadas em
A
e l
em D, então o número de trocas para triangularizar
M é
O
que estudamos para matrizes triangulares em blocos
Você
certamente conhece o resultado (Teorema de Binet): o
determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes.
Os livros do ensino médio, em geral, não demonstram esse teorema ou o
fazem de modo complicado. Podemos utilizar as matrizes em blocos para
demonstrar o teorema de um modo relativamente fácil.
Se
A e
B são
matrizes quadradas de mesma ordem, então
Demonstração:
Considerando A
e B
matrizes quadradas de ordem n
e In
a matriz
e,
portanto,
Vejamos,
supondo A
e B matrizes quadradas de
ordem 2, como usar “operações básicas” para efetuar a
transformação de M
em
Referências
bibliográficas
[1]
Ayres, F. Matrizes. Rio de
Janeiro: MacGraw-Hill, 1974. [2]
Bellman, R. Introduction to matrix
analysis. New York: MacGraw-Hill, 1970. [3]
Hoffman, K. & Kunze R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, 1970. [4]
Iezzi, G. & Hazzan, S. Fundamentos
de Matemática elementar. São Paulo: Atual, 1985. [5]
Lipschutz, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: MacGraw-Hill, 1971. [6]
Monteiro, J. Álgebra Linear,
vol II. São Paulo: LPM, 1970. [7]
Noble, B. & Daniel, J.W. Álgebra
Linear aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1986.
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básicas”, podemos transformar a matriz
