Escreve-nos o leitor Antônio G. Rios, de Contagem, MG, a respeito de uma solução enviada à RPM por Amadeu C. de Almeida (RPM 38, pág. 60) para a equação  .  Ele gostaria de conhecer a solução dada por Amadeu e pergunta qual o erro na seguinte resolução:  da equação se tira  ,  de onde, fazendo  ,  obtém-se simultaneamente:   e  .  Dessas duas sai    e, daqui,  ,

RPM: A solução apresentada aqui não está errada, mas sim incompleta. Ela exige uma certa análise. No seu desenvolvimento são introduzidas novas soluções e abandonadas outras. Isso porque algumas das passagens acima valem num só sentido. As funções na equação dada exigem que se tenha    e  , enquanto as funções da primeira equação algébrica considerada podem ser definidas para qualquer  .  E em    deve-se ter   ,  o que se perde depois ao se elevar ambos os membros ao quadrado. Por outro lado, na passagem de    para  ,  foi abandonada a possibilidade de  ,  que daria  ,  que nos levaria a   (também com possibilidade de estarmos introduzindo soluções estranhas ao problema dado), que por sua vez nos leva à equação ainda escolher dentre estas quatro soluções quais as que resolvem o problema dado e porque se trata de um número maior que  2,5,  não atendendo à condição 5 x² 0.  Resta parte da relação algébrica:  .  Elevando ao quadrado ambos os membros e fazendo  5 = y  se chega à equação em  x  e  y: (y x²)² = y x,  que pode ser considerada como uma equação do 2^o grau em  y,  com coeficientes dependentes de  x. isto é: y = x² + x ou y = x² x +1. Como já se sabe que  y = 5 é solução, essas equações se reduzem às seguintes equações do 2^o grau em  x : x² + x 5 = 0  ou x² x 4 = 0  que são exatamente as mesmas encontradas antes pelo processo do colega Antônio Rios. Como nesse processo também foram efetuadas operações algébricas que poderiam ter introduzido soluções estranhas ao problema de partida, cabe, então, a mesma análise e se chega à mesma conclusão anterior.

A respeito da introdução ou exclusão de soluções durante um processo de resolução, há um interessante artigo na RPM 19 (pág. 15). Observe-se que, em casos como esses, uma vista d’olhos no gráfico das funções envolvidas na equação pode dar mais segurança na eliminação das soluções estranhas ou na busca de soluções que eventualmente se percam no processo. Isso nos leva à última questão posta em PS pelo colega A. Rios: “É possível resolver algebricamente a equação   ? ”.  A resposta a essa pergunta é não e uma justificativa desse fato se encontra na seção Conceitos e controvérsias, de 1983 (RPM 3, pág. 18).

A respeito do quadro "A fórmula é de Bhaskara?" (RPM 39, pág. 54), o colega Wagner Cunha Fragoso, de Santa Maria, RS, escreve citando os livros de Boyer, C. B. (História da Matemática, Editora Edgard Blücher, 1996) e, Garbi, G. G. (O romance das equações algébricas, Makron Books, 1997) para lembrar a importância de Bhaskara na divulgação e utilização do processo que dá a solução da equação do 2^o grau. Conclui que não vê mal em que a fórmula utilizada atualmente continue sendo chamada em nosso país "fórmula de Bhaskara", sugerindo que isso seja encarado como uma singela homenagem ao mais notável e importante matemático hindu do século XII. Lembra que o modo de calcular a área do triângulo em função das medidas de seus lados, hoje registrado pela fórmula dita de Heron (~ 75 d.C.), já era conhecido de Arquimedes (~ 200 a.C.). Ele observa ainda que o autor da nota da RPM usa a letra na fórmula da solução da equação do 2^o grau, considerando esse uso outra peculiaridade brasileira, e gostaria de saber data e autor da adoção dessa maneira de enunciar a fórmula. Também a colega Léa dos Santos, de Santos, SP, escreve contando que muito antes de 1960 já ouvia falar na fórmula de Bhaskara e gostaria de saber qual o primeiro autor, brasileiro ou não, que a chamou de fórmula de Bhaskara.  

Continuam chegando à RPM mais figuras que ajudam a calcular. O colega Dorival Antônio de Mello, de São Paulo, SP, enviou uma figura parecida com a figura da RPM 39 para calcular a soma dos quadrados dos primeiros  n  naturais.

Para o cálculo da soma dos cubos, entretanto, ele usa figura diferente daquela sugerida no artigo. A colega Andréa Zander Vaiano, de Niterói, RJ, envia outras; dentre elas, uma
os trabalhos desses colegas.  

Alguns leitores que compraram números atrasados da RPM perguntam sobre o programa MPP mencionado num artigo da RPM 26 de 1994.

RPM: Informações sobre a versão atual do MPP, que é mais completa do que aquela mencionada no artigo da RPM 26, podem ser encontradas no endereço: http://www.usna.edu/MathDept/mpp/mpp.html/