Uma professora de Santo Antônio de Pádua, RJ, nos pergunta: O reservatório de um caminhão-tanque tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e está cheio até    de sua altura. Qual a porcentagem do reservatório que está ocupada?

RPM: Se  A  é a área da base da parte ocupada do tanque e  h  a altura do cilindro, o volume ocupado é    Vamos calcular  A.

o volume ocupado é aproximadamente  80%  do volume total do tanque.

Um professor de Topografia de uma Escola Técnica Federal, em Goiás, relatou o seguinte:

Para determinar os ângulos internos do   um aluno calculou o ângulo    usando a lei dos cossenos e os ângulos    e    usando a lei dos senos. Com o auxílio de uma calculadora, obteve os resultados:

Somando os ângulos, obteve    e não os  180°  esperados.

O professor observou que, se isso acontecesse na "vida real", um agrimensor, tendo conferido os cálculos, sentir-se-ia inclinado a voltar ao campo para refazer as medidas. Uma perda de tempo.

RPM:

Responde o prof. Maurício França, de Jataí, GO, mostrando a causa do erro:

Conhecer o valor do seno de um ângulo não é suficiente para determinar o ângulo, mesmo que esse ângulo   seja um ângulo de um triângulo,  , pois 

No caso citado, de  e   pode-se concluir, sem erro, que

sendo os primeiros valores os obtidos pela calculadora e os segundos subtraindo esses de  .

Como decidir quais os ângulos certos?  Basta localizar o maior ângulo do triângulo e verificar se ele é maior ou menor do que  . Um procedimento mais razoável é começar localizando o maior ângulo (ele opõe-se ao maior lado) e determiná-lo através da lei dos cossenos, pois a igualdade    determina de modo único um ângulo  ,  .

Tendo determinado o maior ângulo, os outros dois, com certeza, serão agudos e a lei dos senos mais a calculadora darão os valores corretos.

No nosso exemplo, o maior ângulo é  e pela lei dos cossenos temos:

.

Um leitor de Belo Horizonte nos enviou o seguinte problema:

Dois triângulos retângulos distintos têm mesma área. Em um deles a diferença entre as medidas dos catetos é igual a uma unidade e no outro a diferença entre as medidas da hipotenusa e um dos catetos é igual a duas unidades. Determine as medidas dos lados dos triângulos, sabendo-se que são números inteiros.

RPM:

Medidas do primeiro triângulo: catetos  a  e    e hipotenusa  b  unidades.

Medidas do segundo triângulo: catetos  x  e  y  e hipotenusa    unidades.

Da igualdade das áreas temos  .  O teorema de Pitágoras aplicado ao primeiro triângulo fornece    e, aplicado ao segundo triângulo, fornece  .  Esta última igualdade mostra que  x  é um número par.  Logo,  .

Então,    e, portanto,  .  De   temos  = .  Logo,    é ímpar, o que implica  b  ímpar, isto é,     Substituindo, temos    ou

O problema se resume em achar dois inteiros  k  e  m  que satisfaçam a igualdade acima.  Por tentativas, e com algum trabalho, obtemos as soluções   e  , .  Esses números fornecem os pares de triângulos:

(3, 4, 5)  e  (4, 3, 5),  não distintos,  e  (20, 21, 29)  e  (12, 35, 37).

Resta saber se não há outros triângulos que resolvem o problema proposto.

No livro Diophantine equations de L.J. Mordell, na página 257 (edição de 1969), está demonstrado que os únicos números inteiros positivos que satisfazem a equação    são os obtidos acima:   e  , . Logo, os triângulos encontrados são os únicos possíveis.