Élvia Mureb Sallum Flávio Wagner Rodrigues IME–USP Soluções e Sugestões RPM – Problemas Caixa Postal 66281 05315-970 São Paulo, SP          Problemas 171.   Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente iguais e dois ângulos respectivamente suplementares, mostre que os lados opostos aos ângulos iguais são proporcionais aos lados opostos aos ângulos suplementares. 172.  Dez times,  ,  participam de um campeonato no qual cada time joga com todos os outros uma única vez. Os  45  jogos serão realizados em  9  rodadas, cada uma com  5  jogos. Construa uma tabela para esse campeonato ressaltando, se for o caso, aspectos geométricos de sua solução. (Enviado por Sylvio Ferraz de Mello, SP.) 173.  Os números inteiros    são escritos em ordem em volta de um círculo. A partir do número  1,  marque todo décimo quarto número, isto é, marque  , parando no momento em que for atingido um número já marcado. Determine quantos números não marcados restam.          ... e probleminhas 1) Construa três cercas quadradas de modo que todas as nove ovelhas fiquem presas e separadas.  (Extraído do Almanaque matemático. Ediciones Rocamadur, Montevideo, Uruguay, 1999.)                       2) Preencha os quadrados com números distintos de 0 a 9 de modo que os números que se lêem nas linhas, colunas e diagonais sejam múltiplos de  11.  (Extraído do El Acertijo, n.° 19, 1996. Publicaciones aperiódicas, Buenos Aires, Argentina. 3) Complete a estrela mágica com os números  1, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12  de modo que a soma de cada linha seja igual a 26. (Extraído do livro Jogando com a Matemática, Editora Ática.) (Ver respostas na seção "Cartas do leitor")       Soluções dos problemas propostos na RPM 38 162.  Três mulheres  A,  B  e  C  estão na fila da padaria:  A  compra 5 pãezinhos, 2 litros de leite e um pacote de pó de café e tem uma despesa total de       R$ 6,20.  B  gasta R$ 9,80 para comprar 6 pãezinhos, 2 litros de leite e 2 pacotes de pó de café. Quanto  C  pagou por 8 pãezinhos, 3 litros de leite e 2 pacotes de pó de café?  Solução: A solução rápida do problema pode ser obtida observando que a compra da senhora  C  é igual à soma dos itens comprados pela senhora  A  com a metade dos itens comprados pela senhora  B.  Segue-se que a senhora  C  pagou    pelas suas compras. (Adaptação de soluções enviadas por vários leitores.) Observação: Muitos leitores resolveram o problema montando um sistema de equações lineares. Encontraram então uma solução para o sistema formado pelas duas primeiras equações (relativas às compras de  A  e  B)  e substituíram na 3a equação, determinando, assim, o valor pago por  C.  Ao fazer isso, alguns leitores acabaram encontrando valores negativos para o preço de algum item, o que os deixou preocupados com a possibilidade de terem cometido algum erro. Nesse problema, o importante é observar que qualquer solução do sistema indeterminado dá sempre o mesmo valor para as compras da senhora  C.  Para aqueles que gostam de soluções compatíveis, sugerimos que atribuam a cada pãozinho o valor de 10 centavos. 163.   Na figura,  ABCDE  é um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio  R.  Com centros em  A,  B,  C,  D  e  E,  respectivamente, e raio igual à medida do lado do pentágono, traçam-se os arcos de circunferência que determinam o “pentágono curvilíneo”  A1B1C1D1E1.  Determinar, em função de  R,  a medida de sua área.   Solução:    Sendo R  o raio do círculo circunscrito ao pentágono regular dado ABCDE, temos:         A área do “pentágono curvilíneo” , é igual a , sendo  a área assinalada na figura. Seja    a área do setor circular   contido no círculo centrado em  E  de raio    e seja    a área do triângulo  . Então,  . Temos,   e Portanto, a área do pentágono “curvilíneo”  A1B1C1D1E1  é  igual a   164.   Prove que, para  n  inteiro maior que  2,   (n!)2 > nn. Solução:    Observe agora que  . Do fato de    segue-se que    e, portanto,  . Conclui-se então que  . (Adaptado da solução enviada por José Claudio M. Velloso, RJ.)     165.  Construir um quadrilátero inscritível conhecendo seus lados consecutivos  a,  b,  c  e  d. Solução:    Seja  ABCD  o quadrilátero inscritível com  ,  ,    e  ,  como mostra a figura. Sobre o prolongamento de  CB  tomemos um ponto  P  tal que o ângulo  BAP  seja igual ao ângulo  DAC. Como  ABCD  é inscritível, a soma de seus ângulos opostos é  180o;  logo, os ângulos  ADC e ABC  são suplementares, o que implica os ângulos  ADC  e  ABP iguais. Os triângulos  ADC  e  ABP  são, então, semelhantes e fazendo    temos:   . Portanto, x é uma quarta proporcional entre os segmentos  d,  a,  c,  e pode ser construído facilmente. A construção se inicia colocando-se no papel o segmento  . Prolongando  CB  de um comprimento  x  (já construído), obtemos o ponto  P.  Observe que o primeiro lugar geométrico do ponto  A  é a circunferência de centro  B  e raio  a. Em seguida, ainda pela semelhança dos triângulos  ADC  e  ABP,  temos: conhecida. O segundo lugar geométrico do ponto  A  é a circunferência de Apolônio (ver Problema 170 deste número da RPM) do segmento  PC  construída na razão  .  Dessa forma, o ponto  A  está determinado. As circunferências de centro  A  e  raio  d  e de centro  C  e raio  c  determinam o ponto  D  (porque o quadrilátero  ABCD  é convexo), e a construção está terminada.   (Solução enviada por F. W. Leão e Edner Abhasen.)