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Esse
problema, que freqüentemente se apresenta, é o de cobrir uma superfície
plana com regiões poligonais. Essa cobertura, chamada mosaico
do plano, deve ser feita de modo que não haja nem lacunas nem
superposições e através dela podem ser obtidos interessantes e bonitos
desenhos como os mostrados abaixo.
Para
que possamos nos concentrar mais na Matemática do que no aspecto artístico
dos mosaicos, vamos restringir nossa discussão a coberturas formadas
exclusivamente por polígonos regulares. Além disso, duas condições serão
impostas aos mosaicos aqui estudados: a) se dois polígonos regulares intersectam-se, então essa interseção
é um lado ou um vértice comum; b)
a distribuição dos polígonos regulares ao redor de cada vértice
é sempre a mesma. Com
essas restrições estamos eliminando coberturas do tipo:
A
da esquerda não satisfaz a)
e a da direita não satisfaz b). Todos
nós temos familiaridade com os mosaicos formados por polígonos regulares
de um mesmo tipo: triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos
regulares.
Seriam
esses os únicos polígonos regulares que pavimentam o plano? Para
respondermos a essa pergunta, precisamos conhecer a medida em graus,
Tabela
I
Para
que se tenha um mosaico do plano formado exclusivamente por polígonos
regulares
Essas
soluções nos dão exatamente os mosaicos apresentados anteriormente e
consistem em distribuir ao redor de cada vértice ou 6 triângulos equiláteros,
ou 4 quadrados ou 3 hexágonos regulares. Tais
coberturas são chamadas mosaicos
regulares do plano e são indicadas pelas sugestivas notações
O
que acontece se combinarmos polígonos regulares não necessariamente
congruentes entre si? Observamos inicialmente que, embora tais polígonos
regulares não tenham obrigatoriamente o mesmo número de lados, as condições
impostas em nossa definição de mosaico exigem que os lados de todos os
polígonos regulares que comparecem na cobertura tenham o mesmo
comprimento. Um
primeiro passo para responder à questão acima é procurar todas as possíveis
combinações de polígonos regulares que podem ser arranjados ao redor de
um vértice comum de modo que não haja nem lacunas nem superposições.
Já
o mesmo não ocorre para um octógono regular, um hexágono regular e um
triângulo equilátero ou, ainda, para um octógono regular, dois
quadrados e um triângulo equilátero.
Sendo
m o número de polígonos
regulares ao redor de um ponto, temos, evidentemente,
Para
acharmos as soluções inteiras e positivas dessa equação supomos, sem
perda de Façamos
Procedendo
analogamente para
Tabela
II
A
classificação das possíveis combinações de quatro polígonos
regulares ao redor de um vértice comum corresponde à determinação das
soluções inteiras e positivas da equação:
Tabela III
Aqui
surge a seguinte questão: Os arranjos abaixo desenhados devem ser
considerados iguais ou diferentes?
Como
o da esquerda possui um eixo de simetria enquanto o da direita tem dois
eixos de simetria, vamos considerá-los como distintos, ou seja, a solução
Da
mesma forma, as soluções
Analogamente,
a classificação das possíveis combinações de cinco polígonos
regulares em torno de um vértice comum de modo que não haja nem lacunas
nem superposições corresponde à determinação das soluções inteiras
e positivas da equação
As
únicas soluções inteiras e positivas dessa equação, com
Tabela
IV
Como
Finalmente,
a classificação das possíveis combinações de seis polígonos
regulares em torno de um vértice comum nos leva à determinação das
soluções inteiras e positivas da equação
cuja
única solução é
As
considerações feitas até agora nos permitem concluir a existência de
vinte e uma combinações de polígonos regulares que podem ser arranjados
ao redor de um vértice comum de modo que não haja nem lacunas nem
superposições. A
questão crucial que agora surge é sabermos quais das combinações acima
podem ser estendidas de modo a obtermos um mosaico do plano. Por
exemplo, considere o arranjo
A
figura à esquerda, a seguir, indica que um arranjo envolvendo um triângulo equilátero e dois outros polígonos regulares não pode ser estendido de
modo a formar um mosaico do plano a menos que os outros dois polígonos
regulares sejam congruentes, isto é,
Analogamente,
um arranjo que envolve um pentágono regular e dois outros polígonos
regulares não pode ser estendido de modo a formar um mosaico do plano a
menos que os outros dois polígonos regulares sejam congruentes. Concluímos
que
Com
relação à Tabela III, além de
Assim,
das vinte e uma possíveis combinações de polígonos regulares, dez
delas foram eliminadas por não se estenderem. As onze restantes fornecem
os possíveis mosaicos do plano, sendo três deles os mosaicos regulares
(figuras na página 2), e os demais, chamados mosaicos
semi-regulares, desenhados a
seguir.
A
existência dos mosaicos regulares já era conhecida pelos antigos pitagóricos
da Matemática grega. A primeira pessoa a exibir os mosaicos
semi-regulares foi J. Kepler, em um trabalho publicado em 1619, no qual
está o seguinte resultado, que resume nossa discussão: Teorema
de Kepler – Existem
exatamente onze maneiras de se cobrir o plano utilizando-se exclusivamente
polígonos regulares sujeitos às condições a) e b) anteriormente
descritas.
Referências
bibliográficas:
[1] Alsina, C.e Pérez, R., – Simetria
dinámica. Madrid:
Editorial Síntesis, 1989. [2] Barbosa, R.M. – Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993. [3]
Martin, G.E. – Transformation
geometry – An introduction to symmetry. Springer Verlag, 1982. [4]
O’ Daffer, P.G.e Clemens, S.R. –
Geometry: an investigative approach. Addison Wesley,
1976. |