Como professor coruja que sou, vou relatar, com muito orgulho, uma proeza do meu aluno Ernesto E. Prudêncio, do Colégio Anglo de Campinas.

No ano passado, quando ele cursava a 1ª série do 2º grau, estávamos estudando as funções e numa certa aula chamei a atenção da classe para o seguinte: construindo gráficos de diversas funções quadráticas eles haviam observado que quando o coeficiente de x² era positivo, a parábola apresentava concavidade para cima, e quando negativo, a concavidade era baixo, Havíamos  inferido esta regra a partir de alguns casos particulares. Fiz a devida critica a este procedimento (o que não quer dizer que não se deva usá-lo). A seguir avisei-os de que, nos próximos anos do colégio, voltaríamos a esta questão. Usando mais recursos da Geometria Analítica iríamos provar que realmente a regra era geral, aplicando-se a todas as funções quadráticas.

E a aula continuou.

No intervalo seguinte o Ernesto me procurou, com seu jeitinho acanhado, dizendo assim:

- Mestre, você falou que para deduzir aquela propriedade da parábola era preciso usar mais de Geometria Analítica, e eu fiz a dedução com o que já vimos. Por favor, dê uma olhada.

Antes de relatar sua idéia, cabe esclarecer que já havíamos trabalhado com o vértice da

Convém ainda explicar como havíamos chegado a este resultado,. Para melhor compreender o raciocínio dele.

Dada a função y = ax² + bx + c (a ¹ 0)seja y₀ pertencente ao seu conjunto-imagem. Isto significa que y₀ = ax² + bx + c , isto é ax² + bx + c - y₀ = 0 tem no mínimo uma solução:

Ela terá uma única solução justamente quando y₀  = y_V. Para obter y_V basta então exigir que o discriminante de ax² + bx + c – y₀ = 0 seja nulo:

Agora passo a descrever o raciocínio do Ernesto usando sua linguagem e simbologia.

Dada a função y = ax² + bx + c, seja  = x_v + w com w 0.

Se w > 0, então está a direita de x_V.

Se w < 0, então  está à esquerda de x_V.

Após algumas simplificações:

Isto significa que se a > 0, qualquer ponto da parábola, que não seja seu vértice estará mais alto, acima do vértice, o que significa  parábola com concavidade para cima.

Como é gostoso quando estas coisas nos acontecem em sala de aula!

N. da R.: Conquanto o raciocínio apresentado pelo estudante seja bastante natural e criativo, gostaríamos de acrescentar um outro modo de chegar à mesma conclusão por vias algébricas.

Com efeito, se y = ax² + bx + c, tem-se para x ¹ 0:

e o sinal de y será o sinal da expressão entre colchetes. Ora, para valores bastante grandes (em que terá portanto, o mesmo sinal que “a”. Assim sendo, para valores suficientemente grandes de x, o sinal de y será o sinal de a.

A primeira vez que vi o problema dos quatro “quatros” foi como aluna de colégio em 1945.

O problema pedia que se escrevessem todos os números inteiros de 1 a 100 com quatro “quatros”.

Já como professora de Matemática, e durante muitos anos, nem meus alunos, nem eu, conseguíamos escrever 33 e 41 com quatro “quatros”.

Mas, eventualmente, de tanto propor o problema, um aluno, um dia, trouxe uma solução:

e anos mais tarde, outro descobriu que

Mas, o que me deixou mais encantada, foi receber dos irmãos Rui e Roger Chamas, alunos, então de 2º e 3º anos colegiais respectivamente, uma solução geral do problema:

“Para todo número natural n,