A RPM n.º 2 publicou uma justificativa  para o algoritmo comumente usado para a extração da raiz quadrada, ao fim da qual,  em um quadro, a Redação fez um síntese dos diferentes modos de se extrair essa raiz. Dentre estes foi mencionado e explicado o algoritmo retirado do “método das aproximações sucessivas”

Este artigo pretende retomar aquela discussão e, a partir do método das aproximações sucessivas, fornecer um procedimento para o calculo da raiz n-ésima .

Vamos inicialmente considerar o problema geral de determinar os zeros reais de uma função real de variável real f (x), com derivada continua f’(x). Isto significa resolver a equação f (x) = 0. Seja  a solução – ou uma das soluções – dessa equação, como a ilustra a Fig. 1 .

Escolhemos  um número x₀  que supomos  arbitrário e diferente de . A seguir, determinamos x₁, abscissa da intersecção com o eixo dos x da reta tangente à curva y = f (x) no ponto (x₀, f(x)). De modo análogo construímos x₂, a partir de x₁; x₃ a partir de x₂; e assim por diante. Obtemos então uma seqüência infinita x₀, x₁, x₂, x₃,... de valores aproximados de , sendo que x_n será tanto mais próximo de  quanto maior for o índice n.

Tudo isso é verdade desde que a função y = f (x) e o número  satisfaçam certas condições que não vamos discutir aqui, mas que o leitor interessado pode encontra em livros de Análise Numérica, como os que  citamos ao final deste artigo.

Na Fig. 1 a função y = f(x) tem concavidade voltada para cima e x ₀ > . Se x ₀ < teríamos a situação ilustrada na Fig. 2. Sugerimos que o leitor faça gráficos análogos com a concavidade de f(x) voltada para baixo, considerando os casos x₀ > e x₀ < , para constatar que também nessas situações a visualização geométrica indica que a seqüência x₀, x₁, x_2, ... parece convergir para .

Vamos agora deduzir uma fórmula que nos dê o valor  x_i + 1 em termos de x_i. Para isto basta notar, na Fig. 3, que:

  Ora, tg a = f ’(x_i); logo

  Supondo f ’(x_i) ¹ 0 isto nos dá

  donde obtemos o resultado procurado:

                   (1)

  Esse método que nos permite calcular recursivamente valores aproximados de  usando a fórmula (1) é devido a Newton. Ele é também chamado “método das tangentes”, devido à interpretação geométrica da Fig. 3. Vamos, a seguir, utilizá-lo no cálculo da raiz n-ésima.
 

Encontra a raiz n-ézima de um número positivo C equivale a resolver a equação.

xⁿ – C = 0.

Para isso basta usar a fórmula (1) com f (x) = xⁿ – C. Neste caso, f’(x) = n x ^{n –1} e a fórmula (1) nos dá:

Simplificando, vem:

ou ainda,

                 (2)
 

  a)      Caso n = 2 (raiz quadrada). Neste caso fazemos n = 2 na formula (2), obtendo

que é a fórmula apresentada na RPM n.º 2. Vamos utilizar esta fórmula num caso concreto C = 2, começando com x₀ = 1. Então,

Calculando também x₃ e x₄ podemos fazer a tabela seguinte:

Observamos que é impossível obter melhor resultado trabalhando com 8 casas decimais.

b)      Caso n = 3 (raiz cúbica). Neste caso a formula (2) Reduz a

que a nosso ver é uma opção bastante inteligente para se calcular a raiz cúbica, sem a necessidade de memorização de algoritmos intrincados.

Observamos, finalmente, que o cálculo da raiz n-ésima aqui exposto é apenas uma das inúmeras aplicações do método de Newton. Para um tratamento geral desse método, sua base teórica, condições de convergência e estimativas do erro, etc, recomendamos a leituras de livros de Análise Numérica, tais como:

Análise Numérica – Um curso Moderno, de Peter Albecht, LTC Editora.

  Elements of Numerical Analysis, de Peter Henrici, Editora John Wiley