Uma história

Esta história se encontra no livro “Mathematical Gems I” de Ross Honsberger, publicado pela “The Mathematical Association of America” e relata as palavras de Paul Erdös a respeito de um jovem matemático chamado Louis Pósa.

Diz o autor:

Se você não sabe quem é Erdös, deixe-me contar algo a seu respeito. Ele deve ter agora uns 60 anos e é, há muitos anos, um matemático internacionalmente conhecido. Seus três grandes interesses são: Combinatória, Teoria dos Números e Geometria. Ele é mais um “resolvedor” de problemas do que um construtor de teorias. Mesmo assim, entre seus mais de 500 trabalhos publicados, muitos ocupam acima de 100 páginas. Durante décadas visitou universidades no mundo inteiro, permanecendo pouco tempo em cada uma. No outono de 1970, durante sua estrada na Universidade de Waterloo (Canadá), ele nos falor sobre algumas crianças-prodígio da Hungria.

Esta é a sua história sobre Pósa:

“Vou falar sobre Pósa, que agora tem 22 anos e é autor de 8 trabalhos. Eu o conheci antes que completasse 12 anos. Quando voltei dos Estados Unidos, no verão de 1959, me contaram a respeito de um garoto, cuja mãe era matemática e que sabia um bocado a respeito da Matemática do ginásio. Eu fiquei muito interessado e no dia seguinte fui almoçar com ele. Enquanto Pósa estava tomando sua sopa eu lhe propus a seguinte questão: prove que, se você tiver n + 1 inteiros estritamente positivos, menores do que ou iguais a 2n, existem dois dentre eles que são primos entre si. É muito fácil ver que esta afirmação não é veradeira para somente n inteiros porque entre os n números pares, menores do que ou iguais a 2n, não existem dois que sejam primos entre si. Eu tinha percebido este resultado há alguns anos atrás e levara cerca de 10 minutos para obter uma demonstração bem simples. Pósa, sentado, tomando sua sopa, após mais ou menos um minuto e meio disse: “se você tiver n + 1 inteiros, estritamente positivos, menores do que ou iguais a 2n, dois deles têm que ser consecutivos e portanto primos entre si”.

Não é preciso dizer que fiquei muito impressionado e ouso até classificar esta proeza como sendo do mesmo nível que a realizada por Gauss, quando, aos 7 anos, somou rapidamente todos os números inteiros de 1 a 100.

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Desde aquela época, trabalhei sistematicamente com Pósa. Durante minhas viagens freqüentemente escrevia para ele mencionando problemas. Ainda com 11 anos, ele demonstrou o seguinte teorema que eu lhe havia proposto: Um grafo com 2n vértices e n² + 1 arestas, contém um triângulo. Na verdade, este é um caso especial de um teorema, bem conhecido, de Turán, que este último desenvolveu em 1940 em um campo de trabalhos forçados, na Hungria. Também lhe dei o seguinte problema: Considere a série infinita cujo n-ésimo termo é a fração de numerador 1 e denominador igual ao mínimo múltiplo comum de 1, 2, ..., n. Demonstre que a soma é um número irracional. O problema não é muito difícil, mas, é certamente surpreendente que uma criança de 12 anos tenha conseguido resolve-lo.

Mal ele havia completado 13 anos, eu lhe expliquei o teorema de Ramsey para o caso k=2: Imagine um grafo com infinitos vértices: ou existe um conjunto infinito de vértices onde cada par é ligado por uma aresta, ou então existe um conjunto infinito de vértices onde nenhum par é ligado por uma aresta. Pósa levou uns 15 minutos para entender o teorema. Foi para casa, pensou sobre ele e, naquele mesmo dia, antes de ir dormir, tinha encontrado uma demonstração.

Aos 14 anos podia-se conversar com Pósa como se ele fosse um matemático adulto. É interessante observar que ele encontrava alguma dificuldade em Cálculo; jamais gostou de Geometria e nunca se empenhou em nada que não o atraísse fortemente. Mas, em tudo que o interessava, era extremamente bom. Nosso primeiro trabalho em conjunto foi escrito quando Pósa tinha 14 anos e meio. Ele sozinho escreveu muitos trabalhos significativos e alguns deles exercem influencia ainda hoje. Seu trabalho mais conhecido, sobre circuitos hamiltonianos, e que lhe valeu reconhecimento internacional, foi escrito aos 15 anos!

O primeiro teorema, desconhecido até então e que Pósa descobrir e demonstrou, foi o seguinte: Um grafo com n vértices (n 4) e 2n – 3 arestas contém um circuito com uma diagonal. Este resultado é o melhor possível pois, para todo n, é possível construir um grafo com n vértices e 2n – 4 arestas, não contendo um circuito com uma diagonal.

Um problema que eu já havia resolvido é o seguinte: Um grafo com n vértices (n ³ 6) e 3n – 5 arestas contém dois circuitos sem vértices comuns. Eu expus o problema para Pósa e em poucos dias ele apresentou uma demonstração muito simples mil vezes melhor do que a complicação com que eu me havia saído. Um feito extraordinário para uma criança de 14 anos.

Eu gostaria de conjeturar por que aparecem tantas crianças-prodígio na Hungria. Em primeiro lugar, há pelo menos 80 anos existe uma Revista de  matemática para estudante de 1º e 2º graus. Existem também muitas competições de Matemática. A chamada “Competição de Eötvös-Kurshák” existe há 75 anos. Após a 1ª Guerra Mundial foi iniciada uma nova competição para alunos egressos da escola secundária e, após a 2ª guerra mundial, várias novas competições foram iniciadas.

Há alguns anos foi organizada uma competição diferente. Ela é feita na televisão. Bons estudantes de escolas secundárias competem resolvendo problemas em um tempo pré-fixado. As questões são quase sempre muito engenhosas e as soluções são julgadas por um painel de eminentes matemáticos como Alexits, Turán e Hajos. Aparentemente, muitas pessoas assistem à competição com grande interesse, apesar de não compreenderem os problemas.

Há alguns anos foi criada em Budapest, Hungria, uma escola secundária especial para crianças bem dotadas para Matemática: a “Escola Secundária Michael Fazekas”. Ela foi criada bem na época em que Pósa estava entrando no ginásio. Ele gostou muito da escola, tanto assim que recusou deixá-la para entrar, com dois anos de antecedência, na Universidade. Após sair da escola, Pósa me contou a respeito de outros jovens de sua classe que julgava serem melhores em Matemática Elementar do que ele. Entre estes estava o já agora proeminente Lovasz.

E a história continua com algumas amostras dos trabalhos de Pósa.