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18.
Resolva o sistema de equações
20. Da cidade A partem simultaneamente um carro, uma motocicleta e uma bicicleta para a cidade B. Alcançando B, o carro retorna à cidade A e encontra a motocicleta a “a” quilômetros de B e a bicicleta a “b” quilômetros de B. A motocicleta ao chegar a B retorna também, encontrando a bicicleta a “c” quilômetros de B. Determine a distancia AB (suponha todos os movimentos uniformes) 21. Em um triangulo ABC, os pontos médios dos lados AB, BC e CA são C1, A1 e B1, respectivamente. Construa o triangulo, sendo dados o ponto A, o centro O do circulo circunscrito ao triangulo e o ponto médio F de B1C1. Verifique que, dependendo da posição dos pontos A, O e F, existe, ou não, solução de problema. (As soluções devem conter: desenho, descrição da construção e sua justificativa).
O problema n.º 17 da RPM, n.º 3, foi publicado com texto errado, que ora estamos retificando: 17.
Inscrevemos um triangulo ABC no circulo unitário. Seja K o centro do
circulo inscrito. Prove que, se KA . KB . KC = 1 então o triangulo é eqüilátero.
(Olimpíada Húngara, 1982).
1) Eu tenho três bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra de azul, não necessariamente nesta ordem. Somente uma das seguintes afirmações é verdadeira: A é vermelha B não é vermelha C não é azul Qual é a cor de cada bola? Alice, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida. Alice disse: Célia ganhou; Beatriz chegou em 2º lugar. Beatriz disse: Célia chegou em 2º lugar e Dora em 3º . Célia disse: Dora foi a última, Alice a segunda. Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Quem ganhou a corrida?
Quantas dessas afirmações são falsas? 3) Um lógico quis saber da enigmática senhora que estava ao seu lado qual era a idade dos seus 3 filhos. Houve o seguinte diálogo: S: O produto de suas idades é 36. L: ? S: A soma de suas idades é o número daquela casa aí em frente. L: ? S: O mais velho toca piano. L: Ah! Agora eu sei quais são as idades. Quais são as idades dos 3 filhos?
(Ver
respostas no
final desta seção )
13. Uma calculadora científica com diversos circuitos danificados só está fazendo adições, subtrações, multiplicações e divisões, e calculando as funções trigonométricas seno e cosseno, diretas e inversas. Como podemos obter a raiz quadrada de um número x (x ³ 0) com esta calculadora usando um número finito de operações? (Isto é, por processo não iterativo) (Sugestão do Professor Joy Ramos Marin, São Paulo, SP)
Aroldo
de Oliveira Solução
2:
Eduardo
Wagner 14. A executa um trabalho em “m” vezes mais tempo que B e C juntos, B executa o mesmo trabalho e “n” vezes mais tempo que A e C juntos. Quantas vezes mais tempo é necessário para C executar o trabalho do que A e B juntos? 1ª Solução: (Usando recursos da Matemática de 2º Grau) Seja x o tempo necessário para A realizar um certo trabalho e y o tempo que B leva para realizar o mesmo trabalho. Então A e B juntos realizam o mesmo trabalho no tempo dado pela expressão Se z é o tempo gasto por C para realizar o mesmo citado trabalho, temos, em conta do enunciado: onde p é o valor solicitado no problema. Vamos supor, o que, aliás, é natural x > 0, y > 0 e z > 0. Assim, temos um sistema linear homogêneo em: X
= yz
Y = xz Z = xy
X – nY + Z = 0 X
+ Y – pZ = 0 Como
devemos ter X, Y, Z > 0 Ou (mn – 1)p = m + n + 2 O número mn –1 não pode ser 0, pois caso contrário vem X + Y + Z = 0, o que seria absurdo, então 2ª Solução: (Usando recursos de Matemática do 1º Grau) Usando as notações já introduzidas, temos e substituindo x na 2ª e y na 1ª equação, após alguns cálculos vem: (mn
– 1)z = (n + 1)x = (m + 1)y, de onde tiramos
como mn – 1 ¹ 0 (1ª Solução):
Solução apresentada pelo Prof. João Lineu Amaral Prado, que ainda enviou uma terceira solução, e generalização do problema. João
Lineu do Amaral Prado 15. Determine, sem usar tabela ou máquina de calcular, quanto vale o ângulo agudo X, se
Solução: Usamos as fórmulas de transformação para radicais duplos: se A2 – B = C2
Considere, o triângulo da figura:
A raiz positiva desta é
logo, X = 18º Resumo
de diversas soluções. 16. Resolva o sistema de equações Solução: Em primeiro lugar x = y = 0 é claramente solução, e vamos supor que existem soluções x, y diferentes de 0. Neste caso x > 0, y > 0 e ainda x > y. Então por (2) Resumo
de diversas soluções.
O problema nº 17 foi proposto com texto errado. Dois leitores reconheceram o erro e enviaram a solução correta. Por isto o nome deles consta na relação. O problema nº 17 está sendo proposto outra vez neste número.
As soluções dos problemas 9, 10, 11, 12 foram enviadas ainda pelo Prof. Alberto Hassen Raad – MG.
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mX + Y + Z = 0
realizar o mesmo trabalho.
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