Vamos construir, usando papel milimetrado, papel transparente, régua e compasso, calculadoras para o cálculo de raiz quadrada. Apresentaremos também justificativas para seu funcionamento.
 

1. Marque numa folha de papel milímetrado dois eixos ortogonais e uma unidade de medida.

Considerando que os valores do eixo das ordenadas nos darão o resultado da raiz quadrada, deve-se escolher a escala de acordo com os objetivos do cálculo e da precisão desejada.

Numa folha de papel transparente desenhe uma linha reta graduada  mesma

Escolha um número no papel transparente, por exemplo o 9, e seja P o ponto correspondente a esse número. Gire a reta no sentido anti-horário até que a abcissa de P seja igual ao número escolhido, 9: a ordenada de P será a raiz quadrada do número, no caso o número 3.

Você sabe por que o artefato funciona? Um modo de justificar é:

2. Um outro mecanismo para extração de raiz quadrada pode ser construído do seguinte modo:

Desenhe em papel milimetrado uma reta horizontal graduada de 0 a 100 que será o diâmetro de uma circunferência de raio 50. Trace linhas verticais de cada ponto da gradação até a circunferência. Desenhe numa tira de papei transparente uma reta graduada com escala 10 vezes maior que a utilizada no papel milimetrado e fixe a origem da tira na origem do sistema no papel milimetrado.

O mecanismo está pronto. Para calcular a raiz quadrada de um número indicado na reta horizontal basta girar a tira de papel transparente até o ponto da circunferência que encontra a vertical que passa pelo número escolhido. A raiz quadrada do número estará indicada na tira de papel transparente, no ponto de encontro com a circunferência.

A explicação do funcionamento pode ser feita usando-se vezes a raiz quadrada do número m, o que é corrigido pela escolha da escala na tira de papel transparente.