Hideo Kumayama
São Paulo, SP

Segundo uma conhecida lenda originária da Índia, o rei Shirham recebeu de presente do grão-vizir Sissa Ben Dahir um jogo de xadrez, inventado por ele próprio. De imediato, o rei decidiu retribuir essa dádiva, mas não sabia como. Assim, o rei deixou a escolha da recompensa a critério do vizir, o qual pediu: Majestade, dê-me um grão de trigo correspondente à primeira cada o jogo de xadrez, dois grãos correspondendo à segunda casa, quatro à terceira, e assim sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos, até a 64^a casa. O rei ficou espantado com a simplicidade do pedido, porém mais surpreso ainda ficou quando constatou que não conseguiria satisfazê-lo, pois o número total de grãos no tabuleiro, a saber,  , é um número imenso. De fato, usando uma calculadora científica com 12 dígitos no visor, obtém-se para esse número  .

Esse exemplo é muito usado em aula, especialmente no estudo de progressões geométricas. Porém os alunos muitas vezes se perguntam: Mas o número    não é inteiro? É possível, com a calculadora determinar todos os algarismos desse número? A resposta é sim.

Primeiro observa-se que o resultado fornecido pela calculadora é  .  Na realidade, isso é uma aproximação do verdadeiro resultado, dada a impossibilidade de a calculadora exibir todos os 20 algarismos desse número inteiro. Temos que nos precaver ainda contra o fato de que o último 7 pode não ser exato; ele pode ter sido aproximado para cima. (Por exemplo, se você preparar sua calculadora para trabalhar com 4 dígitos no visor, ela vai dar:  .  Alguém poderia erradamente concluir que o quarto algarismo de     é  5,  quando na realidade é  4,  que foi aproximado para  5  porque o seguinte era  .) Portanto, o que sabemos mesmo é que  .  Nosso objetivo é descobrir quais são os 9 últimos algarismos desse número, sendo o primeiro deles igual a 6 ou 7.

Uma forma de proceder é a seguinte.

A calculadora com 12 dígitos no visor consegue exibir todos os algarismos de  .  Denotando-se    e  ,  tem-se:    .  A primeira parcela é um inteiro terminado em 10 zeros e, portanto, não vai influir nos últimos 9 algarismos da soma. Os números    e    podem ser calculados na calculadora, obtendo-se . Neste ponto, não adianta fazer essa soma na calculadora, porque a primeira parcela não cabe no visor. Como porém estamos interessados apenas nos 9 últimos algarismos desse número, fazemos:  . Conclui-se finalmente que 

A guisa de exercícios, o leitor pode experimentar outras maneiras de decompor    em parcelas. Verá que algumas funcionam melhor que outras. Por exemplo, na decomposição  ,  o quadrado da segunda parcela não caberá no visor.

O que acontece se só dispusermos de uma calculadora “do feirante”, com apenas 8 dígitos no visor? Neste caso, já    não cabe no visor, aparecendo  E .

Em primeiro lugar, deve ser lembrado que é perfeitamente possível calcular rapidamente potências nesse tipo de calculadora (ver RPM 26, H. Kumayama e E. Wagner, Vamos usar a calculadora?). Em seguida, pode-se usar um procedimento análogo ao precedente, partindo de  ,  para determinar os 3 algarismos de  .  Por exemplo:

Aqui, a primeira parcela termina em 6 zeros e a segunda, em 4 zeros. De modo que os 3 últimos algarismos de    são 296 e, portanto,  .

Na calculadora de 8 dígitos no visor, o número    aparece como  ,  e precisamos descobrir seus 13 últimos algarismos. Agora, não adianta decompor    como feito anteriormente, pois aparecerão números com mais de 8 algarismos.

Um caminho promissor é decompor    em 3 parcelas convenientemente escolhidas e, em seguida, utilizar a fórmula.

Esperamos que esses exemplos estimulem o leitor a usar inteligentemente a sua calculadora, para superar as limitações desse instrumento.