166.  Os divisores positivos de um número inteiro e positivo  n  estão escritos em ordem crescente a partir do número  1,  1 = d₁ < d₂ < d₃ < ^{. . .} < n .
Encontrar o número n sabendo-se que:

(a)       n = d₁₃ + d₁₄ + d₁₅   e

(b)      (d₅ + 1) = d₁₅ + 1.

(Tirado da primeira Olimpíada Iberoamericana para estudantes universitários e enviado por Angelo Barone Netto, SP.)
 

167.  Um vão, na forma de um triângulo retângulo isósceles, de cateto  100 cm, foi parcialmente coberto por ripas de madeira, de largura  1 cm, distantes umas das outras   2 cm,   da seguinte forma: as ripas formam ângulos de 45° com os lados do vão e a primeira delas dista 2 cm do canto do vão. As ripas são colocadas até cobrir todo o triângulo.

a)    Calcule as áreas das duas primeiras ripas sobre o vão.

b)    Quantas   ripas   serão   colocadas?
       (Use  V2 =1,414.)

c)    Calcule a área sobre o vão triangular ocupada pelas ripas.

(Enviado por Helena Maria A. de Castro, SP.)

168. Dadas N bolas aparentemente iguais e sabendo-se que apenas uma é ligeiramente mais pesada que as demais, pede-se determinar, em função de N, o número mínimo de pesadas necessárias para isolar tal bola.

(Enviado por Joaquim M. Coutinho, RJ.)
 

169. Seja T o conjunto de todos os triângulos cujos ângulos, medidos em graus, são números inteiros positivos. Considere a seguir todos os subconjuntos de   T   formados por triângulos semelhantes. Quantos desses subconjuntos existem?

(Proposto por Rafael Bassi Stern, aluno da 8â série do colégio Dante Alighieri de São Paulo, SP.)

1)  Quatro vacas negras e três marrons dão tanto leite em cinco dias quanto três vacas negras e cinco marrons em quatro dias. Qual raça de vacas é melhor leiteira, as negras ou as marrons?

(Extraído do Almanaque matemático. Ediciones Rocamadur, Montevideo, Uruguay. 1999.)
 

2)  O resultado da soma do dia do mês da última Segunda-feira do último mês e o dia do mês da primeira Quinta-feira do próximo mês é 38. Se ambas as datas são do mesmo ano, qual é o mês corrente?

(Extraído do livro Hard-to-solve brainteasers. Sterling Publishing Co., Inc. New York.
 

3)   Em um povoado vivem   700   mulheres. 4% delas usam um pendente cada uma, metade das restantes usa dois pendentes cada uma e o restante não usa adornos. Quantos pendentes usa o total das mulheres?

(Extraído do Almanaque matemático. Ediciones Rocamadur, Montevideo, Uruguay. 1999.)

(Ver respostas na seção "Cartas do leitor")

158. Nas faces de um dado perfeito (todas as faces têm probabilidade igual a 1/6) são pintados algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Esse dado é lançado sucessivamente até que, pela primeira vez, a soma dos pontos obtidos seja estritamente maior que 12. Qual é o valor mais provável da soma obtida?

Solução:

Seja S a soma dos pontos após o penúltimo lançamento. Em outras palavras, S é o total de pontos no instante em que efetuamos o lançamento que fará com que a soma supere  12. Os valores possíveis para S são 8, 9, 10,  11, e 12.

Se S = 12, os valores possíveis para a soma final serão 13, 14, 15, 16 e 17, todos com probabilidades iguais.

Se S = 11, os valores possíveis para a soma final serão 13, 14, 15, e 16, todos com probabilidades iguais.

De modo análogo obtemos os valores possíveis para S = 10, S = 9 e finalmente para 5=8, quando o único valor possível para a soma final é  13.

Do exposto segue que o valor mais provável para a soma final é 13. (Solução do livro Mathematical Quickies do qual o problema foi tirado.)

159. Na figura, determine o raio da cunferência menor em função do raio R do quadrante.

Solução:

Calculemos o raio da circunferência de centro A.

Nos triângulos retângulos assinalados na figura    temos:     OD² =OA² AD²   e   AE² =AC² CE₂.

Como OD = AE, vem OA² AD² = AC² CE²  

Calculemos, então, o raio da circunferência menor, que denotaremos por x.

Nos   triângulos   BCF   e   OBF,  se   h = BF  e   y = CF,   temos:

(Solução adaptada das soluções enviadas por Carlos Alberto da Silva Victor, RJ, e Wanderley Gambá, SP.)

Observação:

O colega Cláudio Arconcher, Jundiaí, SP, observou que o problema pode ser resolvido também com a muito pouco conhecida fórmula de Soddy (químico inglês descobridor dos isótopos), que, no presente caso, se escreve como:

sendo  a,  b,  c e  d os inversos dos raios das circunferências de centros  O,  C, A e B, respectivamente:

160. Para que valores do inteiro n > 1   a equação   (x + l)ⁿ xⁿ 1 = 0   admite raízes múltiplas?

Solução:

Uma raiz múltipla será também raiz do polinômio derivado. Portanto, se   x₀   é raiz múltipla, temos:

Observe que x₀ é diferente de 1, pois 1  não satisfaz as duas igualdades. Multiplicando-se   (n 1)-ésimas da unidade. Portanto, x₀ = cos + i sen e x₀ +1 = (cos +1) + i sen   e  

(Solução adaptada de soluções enviadas por diversos leitores.)
 

161. Numa folha havia o seguinte desenho: um quadrilátero ABCD e um paralelogramo com os vértices em lados distintos do quadrilátero. O professor apagou o paralelogramo deixando marcado apenas o seu centro O. Como reconstruir o paralelogramo?

Solução:

Dados uma reta r e um ponto   O r , diremos que uma reta s é simétrica de r com respeito a O se for paralela à r e  d(O, r) = d(O,s).

Se MNPQ é um paralelogramo de centro O   inscrito num quadrilátero ABCD, temos OQ=ON ;    logo,   N  pertence à reta simétrica de AD com respeito a O.

Assim, dados ABCD e O, temos dois casos:

1.° caso: AD não é paralelo a BC.

Neste caso, obtemos N como intersecção de  BC com a reta simétrica de  AD com respeito a O e daí Q como intersecção de ON com AD.

Para determinar os pontos M e P, o procedimento é análogo.

2.° caso: AD é paralelo a BC.

Neste caso, QN é qualquer segmento por O com Q AD e N BC. Para acharmos M e P, o procedimento é análogo ao do 1.° caso.

Observamos que, se o quadrilátero tiver dois lados opostos paralelos, existe uma infinidade de paralelogramos inscritos com centro O dado, caso contrário existe apenas um.