A XIII Olimpíada Iberoamericana de Matemática foi realizada de 19 a 27 de setembro de 1998 em Puerto Plata, República Dominicana, e contou com a participação de 20 países, cada um deles com uma equipe de 4 alunos acompanhados de dois professores. A prova consiste em seis problemas, valendo  7  pontos cada um, realizada em dois dias consecutivos, com três problemas por dia.

A equipe brasileira, liderada pelos professores Carlos Gustavo Moreira (RJ) e Paulo José Rodrigues (CE), recebeu excelente pontuação, conquistando 132 pontos do máximo de  168  possíveis. Todos os nossos alunos receberam medalhas, que especificamos a seguir.

Medalhas de Ouro

Emanuel de Souza Carneiro (Fortaleza)

Fabricio Shigeru Catae (São Paulo)

Medalha de Prata

Murali Srnivasan Vajapeyam (Campina Grande)

Medalha de Bronze

Mauricio Pereira Carrari (São Paulo)

Os países que obtiveram maior pontuação total foram:

Além desses países, El Salvador, Venezuela, Portugal e Uruguai obtiveram uma medalha de bronze cada um.

Primeiro dia
Duração da Prova: 4 h e 30 minutos.

Problema 1

São dados 98 pontos sobre uma circunferência. Maria e José jogam alternadamente da seguinte maneira: cada um deles traça um segmento unindo dois dos pontos dados que não tenham sido unidos entre si anteriormente. O jogo termina quando os 98 pontos tenham sido usados como extremos de um segmento pelo menos uma vez. O vencedor é a pessoa que faz o último traço. Se o José começa o jogo, quem pode garantir a sua própria vitória?

Problema 2

A circunferência inscrita no triângulo  ABC  é tangente aos lados  BC,  CA  e  AB nos pontos  D,  E  e  F,  respectivamente.  AD  corta a circunferência num segundo ponto  Q.  Demonstrar que a reta  EQ  passa pelo ponto médio de  AF  se e somente se  AC = BC.

Problema 3

Encontrar o menor número natural  n  com a seguinte propriedade: entre quaisquer n números distintos do conjunto  {1, 2, …, 999}  podem-se escolher quatro números diferentes  a,  b,  c,  d,  tais que  a + 2b + 3c = d.

Segundo dia
Duração da Prova: 4 h e 30 minutos.  
 

Problema 4

Em volta de uma mesa redonda estão sentados representantes de  n  países com  n 2,  satisfazendo a seguinte condição: se duas pessoas são do mesmo país, então, seus respectivos vizinhos da direita não podem ser de um mesmo país. Determinar, para cada  n,  o número máximo de pessoas que pode haver em volta da mesa.

Problema 5

Encontrar o maior valor possível  n  para que existam pontos distintos  P_1,  P_2, P_n  no plano, e números reais   de modo que a distância entre quaisquer dois pontos diferentes  P_i  e  P_j  seja  .

Problema 6

Seja  l  a raiz positiva da equação  .  Define-se a sucessão    por:

Encontrar o resto da divisão de     por 1998.

Nota:  [x]  indica a parte inteira de  x,  ou seja,  [x]  é o único inteiro  k  tal que   .

A Olimpíada Brasileira de Matemática, que este ano foi totalmente reformulada, teve sua segunda fase realizada em junho. Dos  40 000  alunos que fizeram a primeira fase, cerca de  4 000  foram classificados para a segunda e espera-se que  400 (ou um pouco mais) sejam promovidos para a terceira e última fase.

A OBM é realizada agora em três níveis. O nível  1  para os estudantes da  5^a e  6^a  séries, o nível  2  para os de  7^a   e  8^a   e o nível  3  para os do ensino médio (segundo grau). As provas dos três níveis foram discursivas com  6  problemas para serem resolvidos em quatro horas e o resultado superou as expectativas da comissão organizadora.

Os problemas de olimpíadas são diferentes dos exercícios praticados em sala de aula. São situações novas, inesperadas, que exigem raciocínio, experimentação, planejamento, até que a solução seja conseguida. Percebemos com muita satisfação, neste primeiro ano em que a OBM foi estendida a alunos desde a  5^a  série, que uma quantidade expressiva de alunos muito jovens conseguiu resultados excelentes nos problemas propostos.

 A segunda fase da Olimpíada Brasileira de Matemática foi realizada nos colégios e as provas foram aplicadas e corrigidas pelos professores. Isso foi muito importante. Os professores tiveram contato com os problemas, suas soluções, critérios de correção e fizeram o trabalho com extrema seriedade e responsabilidade. Aproveitamos então este espaço que a RPM nos dedica para agradecer a dedicação e o esforço de todos.

A pontuação dos alunos é feita da seguinte forma: cada questão certa na primeira fase (prova de múltipla escolha) vale  1  ponto, cada problema da segunda fase vale  10  pontos e cada problema da terceira fase vale  50  pontos. Assim, em cada etapa, o número de participantes diminui muito e a exigência aumenta. Para participar da terceira fase da OBM, os alunos devem somar os pontos obtidos na primeira fase com os obtidos na segunda fase e esse número, que chamaremos  P,  deverá estar de acordo com a seguinte tabela:

nível 1 – P 56;  nível 2 – P 56  e  nível 3 – P 52

Como se percebe, as notas de corte são altas, mas isso mostra a qualidade dos alunos que estão participando da Olimpíada. Mais de  400 alunos estão dentro desses parâmetros, o que é de certa forma surpreendente e muito nos alegra. Mostramos a seguir a prova da segunda fase do nível  2  (7^a  e  8^a  séries).

A prova do nível 2 segunda fase da OBM

Problema 1

restantes seja igual a  1?  Dê todas as soluções.

Problema 2

Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos dígitos 1,  2,  3,  4,  5,  6  exatamente uma vez, de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível.

Problema 3

Cinco cartões numerados com  3,  4,  5,  6  e  7,  respectivamente, são colocados em uma caixa. Os cartões são retirados da caixa, um de cada vez, e colocados sobre a mesa. Se o número de um cartão retirado é menor do que o número do cartão imediatamente anterior, então esse cartão imediatamente anterior é colocado de volta na caixa. O procedimento continua até que todos os cartões estejam sobre a mesa. Qual é o número máximo de vezes que retiramos cartões da caixa?

Problema 4

Em um triângulo acutângulo  ABC  o ângulo interno de vértice  A  mede   . Os pontos  B₁  e C₁  são os pés das alturas traçadas por  B  e  C,  respectivamente, e os pontos  B₂  e  C₂  são médios dos lados  AC  e  AB,  respectivamente. Mostre que os segmentos  B₁C₂  e  B₂C₁  são perpendiculares.

Problema 5

Existem  20  balas sobre uma mesa e duas crianças começam a comê-las, uma criança de cada vez. Em cada vez, cada criança deve comer pelo menos uma bala e está proibida de comer mais que a metade das balas que existem sobre a mesa. Nessa brincadeira, ganha a criança que deixar apenas uma bala sobre a mesa. Qual das duas crianças pode sempre ganhar na brincadeira: a primeira ou a segunda a jogar? Como deve fazer para ganhar?

Problema 6

Pintam-se de preto todas as faces de um cubo de madeira cujas arestas medem  n centímetros onde  n 3.  Por cortes paralelos às faces, o cubo é dividido em  n³ cubos pequenos, cada um com arestas medindo 1 centímetro. Sabendo que o número total de cubos pequenos com exatamente uma face pintada de preto é igual ao número de cubos pequenos apresentando todas as faces sem pintura, determine o valor de  n.