162.  Três mulheres A, B e C estão na fila da padaria: A compra 5 pãezinhos, 2 litros de leite e um pacote de pó de café e tem uma despesa total de R$ 6,20. B gasta R$ 9,80 para comprar 6 pãezinhos, 2 litros de leite e 2 pacotes de pó de café. Quanto C pagou por 8 pãezinhos, 3 litros de leite e 2 pacotes de pó de café?  (Adaptado do livro Mathematical Quickies de Charles W. Trigg.)

164.   Prove que, para  n  inteiro maior que  2,   (n!)² > nⁿ.
 

1.   Três casais - Paulo, Luiz, José, Maria, Célia e Vera - foram fazer compras. Ao voltar, cada uma das  6  pessoas observou que a quantia que gastou era igual ao quadrado do número de objetos que havia comprado. Paulo comprou  23  objetos a mais do que Célia, Luiz comprou  11  objetos a mais do que Maria. Cada marido gastou  63  reais a mais do que a sua esposa. Quem é marido de quem?

2.  Uma pessoa cética quanto às boas intenções da humanidade afirma que 70% dos homens são desonestos, 70% são intolerantes e 70% são violentos. Se ela estiver certa, numa amostra perfeita de 100 homens, qual é o número mínimo de pessoas simultaneamente desonestas, intolerantes e violentas?

(Enviado por Jorge Luis Rodrigues e Silva, Fortaleza, CE.)

3.   Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas: Compre  x  balas e ganhe  x%  de desconto. A promoção é válida para compras de no máximo 60 balas. Carlos e Daniel compraram  30  e  45  balas, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática? 

(Tirado do livro A Matemática do ensino médio, volume 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM.)  

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")

154. Sejam    o quadrado de vértices  ,  ,   e    e    o interior do quadrado. Para cada  ,  considere   o ponto médio de ,   o quadrilátero    e    o interior de  . Encontre a interseção de todos os  .  

Solução:

Se P_n = (x_n , y_n), as coordenadas x_n(e as y_n) satisfazem a lei de recorrência:  
mos é baseada em um método de cálculo (que pode ser encontrado, por exemplo, no livro Seqüências recorrentes, de A. Markuchevitch da Editora Mir, Moscou) de termos de seqüências recorrentes.

Esse método é o seguinte:

Procuram-se soluções da forma  x_n = zⁿ ,  onde  z  é um número complexo. Então da 

são constantes (complexas) que podem ser determinadas utilizando-se os primeiros termos da seqüência.

Estudando o gráfico de    verificamos que ele possui uma raiz real  r,  com  ,  e duas raízes complexas conjugadas,   e .  Como  ,  segue que  .

O termo geral da seqüência de recorrência é então dado por  .

concluímos que as coordenadas    convergem. De modo análogo mostra-se que as coordenadas  também convergem e então segue que  = .

Multiplicando  a  2^a,  3^a  e  4^a  linhas por  2  e observando que  r,    e    são raízes de  ,  obtemos   ,  ou seja,  .

O mesmo procedimento para a coordenada  y  resulta em   . Portanto  .

(Solução enviada por Antonio Luiz Pereira, SP,  e  Antonio Caminha Muniz Neto, CE.)

155. Escrevendo-se todos os números naturais desde  8  até  , quantas vezes o algarismo  8  é utilizado?

Solução:

Vamos considerar o problema em uma forma um pouco mais geral, isto é, vamos contar quantas vezes o algarismo 8 aparece quando se escrevem os números naturais de  8  até  .

Naturalmente, podemos começar do  0, e podemos escrever qualquer um desses números  com  n  dígitos, acrescentando  0  à esquerda se necessário. Por exemplo, se  n = 4,  escrevemos:  0000, 0001,

Nosso objetivo é encontrar uma lei de recorrência para o número procurado. Para tanto, vamos definir, para cada natural   ,  os números:

E, também   ,  pois começamos contando os oitos da primeira posição, depois os da segunda, etc. Com o oito fixado em uma posição, nas outras    posições pode aparecer qualquer dígito de  0  a  9  o que nos dá o  ;  o fator  n  aparece ao variarmos a posição fixada.

1^o caso: o dígito na primeira casa não é o  8;  logo, vamos contar o número de oitos de  00...00  até  79...99.

Nesse caso o número de oitos será igual ao número de oitos que aparecem nas demais   casas (que podem conter dígitos de  0  a 9), multiplicando pelo número de dígitos possíveis na primeira casa, que é oito (0,  1,  2,  3,  4,  5,  6  ou  7). Portanto, temos uma quantidade de oitos igual a  .

2^o caso: o dígito na primeira casa é  8.

Para cada número escrito nas demais    casas, desde  00...00 ( dígitos) até  88...88 ( dígitos), temos um oito aparecendo na primeira casa. Isso nos dá  (n 1) oitos. Além disso, temos mais oitos adicionais, sempre que eles aparecem em uma dessas   casas. Isso nos dá mais  (n 1) oitos. Segue que  (n) = 8 x (n 1) + (n 1) + (n 1),  que é a lei de recorrência procurada.

Para calcular  (n)   temos de começar calculando (1),  (1) e (1),  ou seja, considerar números com apenas  1  algarismo.

Temos: .

Usando a lei de recorrência para o cálculo de  ,  temos sucessivamente:

E finalmente:   ,  que é o número procurado. Naturalmente, poderíamos calcular  ,  caso desejássemos.

(Solução enviada por Antonio Luiz Pereira, SP.)
 

156. Demonstre ou dê um contra-exemplo:

Nenhum número inteiro formado exclusivamente por dois ou mais algarismos iguais pode ser um quadrado perfeito.

Solução:

Nenhum número terminado em  2,  3,  7  ou  8, pode ser um quadrado perfeito. Portanto, restam para serem considerados os números terminados em  1,  4,  5,  6 e  9. Vamos observar que os números  55....5  e  66....6  podem ser representados nas formas:

5 (11.....1)  e  6 (11.....1)  e, como  11......1  não é múltiplo  de  5  nem de  2, nenhum deles pode ser um quadrado perfeito.

O número  11....1  formado por  n  algarismos iguais a  1,  para  n > 2,  é igual a

11 + 10² + 10³ + .........+ 10^n-1 = 100(1 + 10 +...10^n-3) = 4n + 3

não podendo ser um quadrado perfeito, pois se o fosse seria o quadrado de um número ímpar, ou seja, , que implicaria  ,  o que é absurdo.

Finalmente os números da forma  44...4  e  99.....9  são iguais ao produto de um quadrado perfeito por  11....1  e portanto não são quadrados perfeitos.

(Adaptação de soluções enviadas por vários leitores.)

157.O casal João e Maria foi a uma festa na qual havia  3  outros casais. Houve vários apertos de mão. Ninguém apertou a mão de seu cônjuge, ninguém apertou a mão da mesma pessoa mais que uma vez e, naturalmente, ninguém apertou a própria mão. Após os cumprimentos, João perguntou a cada pessoa quantos apertos de mão havia dado e constatou que cada um tinha uma resposta diferente, inclusive Maria. Quantos apertos de mão Maria deu?

Solução:

Como são 4 casais (8 pessoas) e ninguém cumprimenta a si mesmo, e nem o seu cônjuge, o número máximo de apertos de mão que uma pessoa pode dar é 6. Como João consultou 7 pessoas e obteve 7 respostas diferentes, essas respostas só podem ter sido 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vamos denotar os casais por A e B, C e D, E e F, G e H. Vamos supor que A respondeu que deu 6 apertos de mão. Como ele não cumprimentou B, os 6 certamente foram dados em C, D, E, F, G, H e portanto cada uma dessas pessoas deu pelo menos um aperto de mão. Segue-se que B, cônjuge de A, é a única pessoa que pode ter respondido 0.

Se agora admitirmos que C respondeu que deu 5 apertos de mão, é claro que 1  foi em A e, como B não cumprimentou ninguém e C não pode ter cumprimentado D, conclui-se que os outros 4 foram dados a E, F, G, H e, portanto, essas 4 pessoas deram pelo menos 2 apertos de mão. Segue-se que a única pessoa que pode ter respondido que deu  1  aperto de mão é D.

De maneira análoga pode-se mostrar que, se E deu 4 apertos de mão, seu cônjuge F deu 2 e portanto G e H deram 3 cada um. Como apenas uma pessoa disse que deu 3, segue-se que G e H são João e Maria e portanto Maria deu 3 apertos de mão.
 

(Adaptado da solução enviada por Francisco Antonio Martins de Paiva, Fortaleza, CE.)