Alguns Problemas e suas Causas Roberto Markarian Montevidéu, Uruguai O professor Roberto Markarian é um destacado matemático uruguaio, que tem realizado importantes trabalhos na área de Sistemas Dinâmicos. Embora suas atividades como professor situem-se no nível universitário, sua consciência de cidadão (que já lhe trouxe grandes dissabores durante uma ditadura militar) o leva a preocupar-se com os problemas de ensino no nível médio. A RPM tem a grande satisfação de divulgar para os seus leitores o pensamento do Professor Markarian. O objetivo principal deste artigo é escrever sobre alguns problemas e situações que se apresentam no aprendizado da Matemática no final do ciclo escolar, mas foi impossível fazê-lo sem me referir a algumas questões muito mais amplas ligadas às dificuldades da Matemática e seu aprendizado em geral. As subseções da primeira parte (o ensino da Matemática em geral) estão numeradas  1, 2, 3, ... e as subseções do artigo em si estão ordenadas por letras maiúsculas  A, B, C, ... Estas notas carecem de exemplos detalhados, da experiência própria de trabalhar com crianças de aproximadamente 10 anos, mas podem ter a valia de quem lida e gosta de lidar com jovens nos quais as dificuldades de aprendizagem de dois qüinqüênios anteriores refletem-se em dolorosos traumas de estudo, e de quem fez do ensino e da pesquisa matemática a sua profissão. O ensino da Matemática em todos os níveis apresenta-se como um problema insolúvel. Tem causas e manifestações distintas em países com diferentes graus de desenvolvimento econômico e cultural. Algumas têm componentes que são próprios dos países com menor desenvolvimento industrial ou menor independência agronômica ou com economias muito dependentes dos investimentos, das flutuações de mercado ou de políticas externas. Poder-se-ia resumir a explicação do porquê de a disciplina ser motivo de tantas preocupações para alunos, professores e pais nos seguintes três aspectos:          1. O subdesenvolvimento Em nações onde a aplicação criativa do conhecimento para o desenvolvimento de novas tecnologias não constitui parte da mentalidade dominante, é difícil aumentar o prestígio e o reconhecimento das ciências básicas necessárias para tais desenvolvimentos. Nesses países (incluso o do autor desta nota), os que marcam explícita ou implicitamente os rumos da evolução econômica, dos investimentos, da ocupação de mão-de-obra têm por orientação central a importação de maquinária ou técnicas e a sua adaptação ao terreno ou produção primária do lugar. Portanto, dificilmente eles promovem uma cultura na qual a criação de conhecimento autóctone, sustentado no conhecimento básico, ocupe um lugar destacado no desenvolvimento global. Isso não significa que seu discurso, suas arengas, etc. não sejam carregados de alentos à promoção das ciências e seu caráter nacional. Mas me refiro a aspectos mais substanciais, mais estruturais da sociedade e não somente ao que governantes ou líderes empresariais possam escrever ou dizer. De um modo mais claro e esquemático: em uma economia que não está baseada na criação de técnicas próprias para resolver os seus problemas não há promoção do conhecimento científico e menos ainda da ciência mais abstrata, a de menor conteúdo fatual: a Matemática. Como exemplo da importância do conhecimento básico para a criação de ciências e técnicas a fim de atender às necessidades autóctones (nacionais, diríamos agora), seria útil citar o que sucedeu na América Pré-Hispânica. O melhoramento do milho, a decisão de quando plantar, a introdução da roça como procedimento para ganhar novos terrenos cultiváveis, são invenções próprias que respondiam à geografia e aos meios disponíveis: foi criação autóctone de tecnologia. Esses progressos foram simultâneos com a criação de sistemas de contagem do tempo (calendário, saber astronômico), com a invenção de sistemas de numeração e de formas de linguagem escrita. Tudo isso é conhecimento básico, sem o qual aquelas necessidades agrícolas não poderiam ter sido satisfeitas. A invenção de tecnologia própria – incluindo a adaptação de técnicas conhecidas aos problemas, materiais, tradições do lugar – é impossível se não foram desenvolvidas vigorosamente as ciências básicas de tais tecnologias: Biologia, Física, Química, Matemática e os procedimentos que se situam entre essas ciências e as aplicações.        2.  A Matemática é difícil O objetivo da Matemática é um tanto imperceptível. A abstração das propriedades quantitativas ou geométricas que caracterizam as primeiras noções estudadas nos cursos de Matemática constituem um processo de complicada assimilação. Pequenos erros nesse processo tornam muito difícil a assimilação de novos conceitos e procedimentos, gerando grandes traumas futuros. Por outro lado, a memorização de uma nomenclatura diferente e muito precisa introduz componentes que não são usuais na vida diária. Por sua vez, tais formas de pensar, de poder “desmaterializar” os objetos são parte de nossa relação com a natureza, que nos diferencia de outros animais avançados. A compreensão de propriedades globais dos objetos que nos são apresentados não se faz por mera acumulação. Faz-se por reordenação, por associação de semelhanças, que são parte fundamental do conhecimento matemático. A aceitação e compreensão das dificuldades da Matemática e, por sua vez, da necessidade de sua aplicação são básicas para poder analisar o problema do ensino da Matemática em nível alto e com competência.        3. O ensino da Matemática é problemático O grave problema do ensino da Matemática não é exclusividade dessa disciplina. Atualmente admite-se que todo o sistema educacional está em crise. Que a velocidade das mudanças nos grandes e pequenos processos introduziu imensas dificuldades na sistematização do conhecimento e, portanto, em sua divulgação e ensino. Sem ser muito rigoroso, pode-se dizer que a interação aluno-docente que caracteriza o aprendizado dá-se sobre a base do estado atual do conhecimento e está fortemente influenciada pelos interesses de ambas as partes. O docente, a parte conservadora dessa relação, a que representa o social, o adquirido, o que deve ser conservado (nesse sentido usei a expressão “conservadora”), tem grandes dificuldades para manter-se em dia com os conhecimentos. O estudante é sacudido por elementos alheios ao ensino formal: os meios de comunicação, a cultura de consumo, em alguns casos; o atraso cultural, a destruição da família, a pobreza endêmica, em outros; pior ainda, tudo misturado, muitas vezes. Para cumprir adequadamente sua função, o docente deveria saber como esses aspectos refletem-se no estudante, coisa que, na atualidade, em geral não acontece. A defasagem entre o que o docente tem para transmitir e o que o estudante espera receber gera um desinteresse que interfere de maneira fundamental no aprendizado. As questões analisadas em  1  e  2  produzem efeitos característicos nas crises do ensino de Matemática. Há um processo de descrença da importância do conhecimento abstrato, beneficiado pelas questões econômicas e sociais a que nos referimos no começo e também pela cultura do lucro imediato, do “o que é bom é o que se pode consumir”. Tudo isso gera uma espécie de despreocupação e, em muitos casos, uma desnaturalização do conhecimento matemático. Com isso quero dizer que a excessiva ênfase nas motivações, em tornar atrativo o objeto do estudo, leva a um descuido do ensino da Matemática em si, das estruturas gerais e suas relações. Por outro lado, as dificuldades da disciplina também se manifestam em freqüentes mudanças de programas, métodos pedagógicos e ênfases temáticas que dificultam a formação dos seus docentes. Esses não conseguem ajustar sua formação e atualização às mudanças da disciplina e às incrementadas (tanto em número quanto em qualidade) solicitações sociais. Nos últimos 30 anos, por exemplo, houve, de início, uma mudança acentuada para um ensino muito formalizado (que se decidiu chamar Matemática Moderna) e logo um forte questionamento de tais orientações. Isso causou, inclusive, rancores difíceis de superar entre adeptos de umas ou outras posições. Tudo isso faz com que a Matemática seja mal ensinada em sua forma e conteúdo, o que constitui uma grave falha social. Do exposto acima fica claro que não sou dos que acham que tudo está nas mãos daqueles a quem ensinamos Matemática; também não creio que somente com um grande esforço pedagógico os problemas do aprendizado da Matemática possam ser solucionados. Porém, a percepção de nossas limitações não nos exime da obrigação de pensar, opinar, dar soluções a problemas tão angustiantes e de indubitável impacto cultural. No restante deste artigo apresentarei, através de blocos temáticos, alguns dos problemas de aprendizagem da Matemática em crianças que estão finalizando o ensino primário.        A. Prestígio do saber matemático e os temores que gera O bom desempenho em Matemática é considerado, em geral, como uma mostra de sabedoria e inteligência. Consideram-se as pessoas que têm facilidade para Matemática como gente especial, com algum dom extraordinário: o saber matemático goza de prestígio. Isso se deve, por um lado, ao fato de que as dificuldades da disciplina fazem com que quem a sabe ou a aprende com facilidade seja visto como diferente, especialmente dotado; por outro lado, os jovens com particular facilidade para a Matemática, em geral, têm também facilidade para formar conceitos em outras disciplinas, para continuar a concatenação lógica de raciocínios, até para encontrar semelhanças em geografia, física, ... Esse “prestígio”, por sua vez, gera em quem tem dificuldades uma aversão muito forte à Matemática. Sentem-se aparvalhados, passam a ignorar a beleza, a coerência e a ordenação da disciplina e a recusar qualquer tipo de formalização por sua semelhança com a formalização matemática. É bastante comum que os estudantes com dificuldades sejam mais retraídos, sintam que não poderão ocupar papéis importantes em suas atividades ou obter ocupações de destaque e modernas. Consideram-se humilhados perante seus professores de Matemática e, mais adiante, muitos deles serão incapazes de ter uma base mínima para incorporar conhecimentos matemáticos ou meramente quantitativos, que lhes permitam avançar normalmente nos seus estudos.        B.  Memória com detalhes O conhecimento matemático inclui a memorização sistemática e classificada de uma quantidade muito grande de dados, de informação que deverá ser utilizada automaticamente: as tabuadas da multiplicação, os valores de algumas funções (trigonométricas, por exemplo), o significado e valores de muitos símbolos (p, por exemplo), equivalência entre diferentes unidades de medida, valores de raízes quadradas, fórmulas de comprimentos, áreas, volumes. Essa informação deve ser “guardada” com precisão, com detalhes: 3 vezes 8 não é “quase” 25 é 24; símbolos muito parecidos são distintos se cumprem funções diferentes; a vírgula dos números decimais deve ser colocada em um lugar exato se desejamos representar um número dado, etc. Tornar operativa, com velocidade, essa massa de informação é parte do conhecimento matemático. Quem tiver dificuldades para recordar algumas dessas informações elementares, dificilmente poderá acompanhar raciocínios mais complicados ou fazer exercícios que envolvam essas operações.        C. Procedimentos padronizados Além da armazenagem de informação, o saber matemático inclui a realização de um número muito grande de operações e rotinas a serem aplicadas em ordem correta e com precisão. Nessas operações incluo certas propriedades de uso sistemático. Vejamos alguns exemplos: a comutatividade das operações elementares (cujo conhecimento diminui o número de resultados a recordar); “o símbolo + transforma-se em – ao passar uma parcela para o outro lado do símbolo =”; a realização de operações iterativas, em que a repetição é a chave do êxito (a divisão, por exemplo). Essa habilidade inclui também a boa utilização ou o adestramento na memória presente, para não ficar perdido no meio de um raciocínio de muitas etapas. Essa capacidade para integrar diferentes informações e processá-las de maneira mais ou menos rotineira é também parte da boa formação em Matemática. A falta dessa capacidade gera a impossibilidade de saber o que fazer com objetos matemáticos usuais e como prosseguir com operações previamente estudadas.        D. Linguagem, símbolos e padrões O aprendizado da Matemática depende muito de uma linguagem e de símbolos próprios e específicos. Essas linguagens e simbolismos a tornam, por sua vez, mais inacessível. Pode-se dizer que são um “mal necessário”. É interessante observar que esses elementos decisivos no progresso da Matemática demoraram muito para se desenvolver com toda a força: consolidaram-se só no século XVI com o desenvolvimento da notação e formalismo da Álgebra. As dificuldades inerentes à linguagem e ao simbolismo matemáticos obrigam a tomar o devido cuidado na utilização de tais instrumentos no ensino. A linguagem em si não motiva; as idéias sim. Nenhum aluno pode interessar-se por algo em que não veja algum elemento que satisfaça ou aguce sua curiosidade. Isso é verdade inclusive para os matemáticos que contribuem para o desenvolvimento da sua ciência. Estão interessados nas idéias, métodos e técnicas que fazem parte da sua disciplina. Vamos introduzindo linguagens e simbolismos por necessidades práticas. O mesmo pode se dizer no ensino: introduzi-los quando se tornam necessários para auxiliar o aprendizado de coisas verdadeiramente relevantes. Nessa categoria de problemas também entram os padrões, esquemas, palavras-chaves que o estudante deve poder reconhecer rapidamente para utilizar as técnicas adequadas. As representações geométricas, o reconhecimento de figuras ou de representação gráfica (colunas, diagonais, conjuntos de números), formam parte das perícias a que fazemos referência neste item. Esses procedimentos incluem doses muito grandes de abstração, pois esses padrões aparecem com apresentações explícitas ou visuais muito diferentes. A interpretação precisa, inclusive visual, de algumas definições abstratas é crucial para avançar na compreensão de diversos entes geométricos: circunferência, paralelas, equilátero. A linguagem, os símbolos e os padrões matemáticos bem assimilados e utilizados sistematicamente em outras esferas da atividade e na ciência são ferramentas de comunicação e sistematização fundamentais. Enriquecem a capacidade de transmissão, simplificam modos de pensar, ajudam a chegar diretamente ao cerne dos problemas. Mais ainda, o bom manejo desses elementos na linguagem oral clarifica a apresentação de idéias complicadas e evita circunlóquios e rodeios na descrição de situações.          E. Lógica e conceitos As cadeias de raciocínios, características da Matemática, são uma das questões principais que o estudante deve aprender. Bertrand Russel escreveu que na realidade a Matemática é um grande silogismo, e que uma vez dadas certas definições, grandes áreas da Matemática se constroem “pensando bem”. Não concordo com essa idéia in totum: grande parte do que me propus a descrever na primeira parte do trabalho (em particular no item 1) refere-se à correspondência da Matemática com a realidade, ao seu caráter não arbitrário. Porém não é menos certo que o bom aprendizado da Matemática inclui os grandes elementos do raciocínio correto, da dedução possível, das dependências permitidas entre conceitos. Essas virtudes do modo de pensar matemático não devem ser contrapostas às características antes anotadas, em particular, à necessária memorização de definições e procedimentos; muito menos ainda nas etapas iniciais da educação. O progresso na compreensão dos mecanismos lógicos necessita de um grau avançado de conceituação, especialmente nessas etapas formativas. É impossível raciocinar bem se os objetos do raciocínio não estão definidos com precisão, se não se conhecem os elementos que os constituem e seus limites. Muitas vezes uma dose generosa de memória pode esconder grandes carências em certas conceituações (somar quebrados sem saber muito bem o que representam as frações, por exemplo), mas freqüentemente essas carências aparecem até porque com o passar do tempo tudo se esquece. A capacidade de resolução de problemas está fortemente baseada nesses graus de conceituação e rigor lógico: identificação das perguntas colocadas, utilização de alternativas válidas, mudança de estratégia para atacar o problema em razão do fracasso de algo utilizado previamente. Ainda assim, as coisas devem caminhar no seu devido tempo. Do mesmo modo como na evolução das idéias, também no ensino os conceitos devem ser introduzidos à medida que vão sendo solicitados pelos tópicos ensinados, à medida que o aluno esteja em condição de apreciar criticamente a importância do que está aprendendo. Caso contrário o resultado é negativo, pois, em lugar de estimular o aprendizado, produz o efeito de gerar desinteresse por uma Matemática que trata de objetos imperceptíveis que não são necessários nem em sua estrutura intrínseca. Nisso também a evolução da ciência dá bons exemplos: os matemáticos profissionais lidaram com funções durante quase dois séculos antes de chegar à sua definição geral. Somente deram uma definição precisa (com seus conteúdos e limites) quando a resolução de questões delicadas (de convergência) tornou isso absolutamente necessário. A introdução prematura de conceitos, como os de função injetora, sobrejetora, inversa, composta, sem a utilização adequada desses conceitos – e, portanto, sem revelar sua real importância – é um exercício gratuito que se exige do estudante. Gratuito e contraproducente.        F. Necessariamente estimativo   A resolução de problemas destaca, além dos aspectos lógicos e de conceituações anteriormente aludidos, a importância do quantitativo em Matemática: de saber estimar resultados e descartar soluções improcedentes. Assim como é inaceitável que quem faz cálculos para achar a velocidade de um ônibus obtenha como resultado 900 km por hora e não procure o erro, um aluno médio de Matemática, ao multiplicar sucessivamente três números de um algarismo, deve descartar resultados que envolvam milhares. A realização de cálculos “grosseiros” deve ser incentivada pelos professores ainda mais em tempos em que tais cálculos são feitos com pequenas máquinas, perdendo-se a noção de resultado aproximado, da estimativa. É inadmissível que o bom raciocínio, que a boa memorização, etc. não se complementem com o resultado mais imediato do saber matemático: saber quantificar fenômenos e acontecimentos, e operar com os números da quantificação.        G. Caráter cumulativo   Por último, creio ser útil destacar o caráter cumulativo do conhecimento matemático. Esse aspecto é particularmente sentido pelos docentes dos ciclos superiores do ensino: as carências acumuladas, incluindo as carências de informação e de sistemática, geram imensas dificuldades na compreensão de novas idéias. Expresso com os devidos respeitos, pode se ser um excelente estudioso de ramos amplos da História sabendo pouco do papel de Carlos Magno na Idade Média, mas não se pode aprender Matemática nos últimos anos do curso secundário se não se sabe somar frações. O saber matemático não tem a apresentação de um queijo Emental: uma deliciosa massa com grandes buracos. A evolução do aprendizado da Matemática nos ciclos primário e secundário deveria de preferência ser uma massa uniforme cujos buracos seriam considerados como vazios a preencher. Muitas vezes diminui-se a importância desse caráter cumulativo dos estudos da Matemática; considera-se uma exigência a mais dos professores, outra reivindicação dos aspectos globais da matéria. Não é assim. A boa compreensão dos conceitos anteriores, sua memorização, a prática, são quase imprescindíveis para entender razoavelmente as etapas mais avançadas. Facilita o aprendizado, consolida mais facilmente o novo. Todos os traços analisados entre B e F abonam a importância do acúmulo no conhecimento matemático. Peço ao leitor uma breve recapitulação desses itens para convencer-se de que carências em alguns aspectos refletem-se em debilidades nos outros. Espero que estas anotações sobre o ensino da Matemática sejam úteis para os leitores desta revista. De minha parte achei muito interessante e estimulante fazer essa ordenação sobre temas que, de outra maneira, só chamam minha atenção quando recebo as queixas que habitualmente se fazem sobre as dificuldades para compreender a disciplina. Agradeço a A. M. F. por diversas e importantes correções de estilo. Parte da sistematização do segundo segmento desta nota inspirou-se em um artigo incluído numa coleção dedicada ao “Desenvolvimento e comportamento dos meninos maiores e adolescentes” Melvin D. Levin, Ronald L. Lindsay & Martha S. Reed: The Wrath of Math. Pediatric Clinics of North America, 39, 525-536 (1992).