O objetivo deste artigo é relatar nossa experiência trabalhando com professores de Matemática do Ensino Fundamental II da rede pública, envolvidos no Programa de Educação Continuada (PEC), um projeto conjunto da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo e da Universidade de São Paulo – USP, além de nossa experiência em oficinas do Centro de Ensino de Matemática da USP.

A aceitação e envolvimento dos professores participantes e a decisão de aplicação do material concreto na sala de aula nos estimularam a divulgar mais amplamente o trabalho.

O objetivo das atividades propostas é, inicialmente, a modelagem, através de peças coloridas de cartolina, de expressões algébricas do primeiro e segundo graus. A seguir, usa-se esse material para modelar a resolução de equações do primeiro grau e fatoração de trinômios do segundo grau.

Uma observação deve sempre ser feita quando se trabalha com material concreto. O professor precisa estar atento quanto à necessidade dos alunos em usá-lo, pois, para aqueles que não necessitam de atividades com esse material para compreensão do processo algébrico, a insistência pode ser desmotivadora.

Um conjunto de fichas de cartolina em duas cores (que representaremos aqui em branco e cinza) constituído por:

Quadrados pequenos (1 1) – que representarão a unidade: 1. Os quadrados brancos representarão as unidades positivas e os cinza as unidades negativas.

Retângulos – com um dos lados com a mesma medida  1  dos quadrados pequenos e o outro lado com uma medida qualquer, que não seja um múltiplo inteiro da unidade escolhida. Os retângulos brancos corresponderão à incógnita  e os cinza, ao seu oposto  .

Quadrados grandes – cujos lados devem ter a mesma medida escolhida para o lado não unitário do retângulo anterior; também em duas cores, o branco representando    e o cinza o seu oposto   .
 

Para as atividades propostas neste artigo, é necessário que os alunos dominem as operações com números inteiros, de preferência com representação concreta de modo análogo ao aqui utilizado.

Trabalhamos inicialmente com a modelagem para expressões algébricas, ou seja, vamos escolher o conjunto de peças que representará cada uma dessas expressões como nos exemplos a seguir.

Podemos efetuar adição     ( ) + ( )    observando que as peças de cores diferentes representam quantidades opostas e “se anulam” aos  pares.

Para efetuar a  diferença          ,     uma das formas de trabalhar pode ser somando a expressão oposta, ou seja, usando que

  = +

e teremos     = :

Podemos também modelar as várias possibilidades para o produto, usando  as representações:

Usando a propriedade  uma igualdade se mantém se efetuamos operações iguais em ambos os lados,  modelamos a solução de uma equação do 1^o grau, como nos exemplos a seguir.

É importante que cada operação efetuada em ambos os lados da igualdade seja acompanhada de sua representação simbólica para que, após muitos exemplos, o estudante participante apreenda as propriedades usadas e se liberte do material concreto, passando a resolver as equações algebricamente. Vários professores que aplicaram a atividade em sala de aula relatam que, de fato, é isso que acontece.

Sugerimos ao leitor que resolva, modelando como nos exemplos, outras equações do 1^o grau cujas soluções são números inteiros.
 

Nesta atividade, observando um modelo físico, os participantes  podem investigar a fatoração de um trinômio do 2^o grau   ,   com  a,  b  e  c  inteiros cuja decomposição resulta em uma expressão do tipo    com  p  e  q  inteiros. O objetivo é levar à percepção das propriedades que permitam fatorar tais expressões no nível simbólico.

Para realizar a atividade estabelecemos o seguinte:

Um trinômio do 2^o grau da forma    com  a,  b  e  c

inteiros e  a > 0  pode ser fatorado se, e somente se, for possível formar um retângulo com as peças que o representam. As dimensões do retângulo formado representam os fatores do trinômio.

Dessa forma, voltamos à estrutura do produto modelado nos exemplos 1, 2 e 3 da Atividade 1.

Por exemplo, os fatores de  podem ser encontrados construindo-se um retângulo com uma peça que representa   três peças que representam  x  e duas peças que representam as unidades positivas.

Vejamos mais alguns exemplos.

2. O trinômio    pode ser fatorado construindo-se o retângulo:

Depois de muitos exemplos, os alunos que participam da atividade devem estar aptos para responder à questão:

Se   = ,  quais as relações que existem entre os números  p, q  e  c ?  E  p, q  e  b?

Em seguida devem usar essas relações para fatorar algebricamente outros trinômios e estarão prontos para resolver equações do segundo grau usando a fatoração para recair em equações do primeiro grau.

Por exemplo, para resolver a equação   (exemplo 3) fazemos    e então    ou ;  logo,    ou  .
 

Referências Bibliográficas:

[1] J. K. Bidwell. A physical model for factoring quadratic polynomials, Math Teacher, March, 1972.

[2] A. A. Gibb. More on physical models for factoring polynomials, Math Teacher, Feb, 1972.

[3] C. R. Hirsch. Finding factors physically, Math Teacher, May, 1982.

[4] B. Kinach. Solving linear equations physically, Math Teacher, September, 1985.