Um leitor de Marília, SP, nos pede a solução do seguinte problema: Uma empresa vende habitualmente café em pacotes de  1  quilo. Numa tentativa de aumentar suas vendas, passa a comercializar o café em embalagens contendo  20% a mais de café, mantendo o mesmo preço dos pacotes de  1  quilo. Em que  porcentagem foi reduzido o preço do quilo de café?

RPM: Durante a promoção,  1,2  quilo de café passou a custar  p,  sendo  p  o preço de  1  quilo anterior à promoção. Assim

     Um leitor de Natal, RN, nos mandou o problema:   Considere a seqüência 

onde   e    Determine o valor de  a  para o qual

    Dois leitores, um de Curitiba, PR, e outro de Porto Alegre, RS, nos enviaram o problema: Quatro retas se cortam formando quatro triângulos como na figura. Mostrar que as circunferências circunscritas aos quatro triângulos têm um ponto em comum.

RPM:  Esse resultado é conhecido como  Teorema de Miquel, que o descobriu em 1938, e o ponto comum obtido é chamado ponto de Miquel. Iniciamos a demonstração com um resultado preliminar:

Dado um triângulo  e, sendo    pontos arbitrários sobre os lados  YZ,  XZ,  XY  respectivamente, então as três circunferências   e   têm um ponto em comum.

    Deixamos para o leitor a verificação de que o resultado que acabamos de provar continua válido se os pontos    estiverem nas retas dadas por YZ,  XZ,  XY,  não necessariamente nos lados do triângulo.

Por outro lado, aplicando o resultado para o AB₁C₁ e para os pontos A₁, B, C temos que as três circunferências ABC, B₁A₁C e C₁A₁B  têm um ponto em comum. Como os únicos pontos comuns dessas últimas duas circunferências são  A₁  e  M,  concluímos que as quatro circunferências

AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁ e ABC

têm um ponto em comum, o que conclui a prova.