RPM 37 - Problemas

Élvia M. Sallum
Flávio Wagner Rodrigues
IME – USP

Soluções e Sugestões
RPM – Problemas
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05315-970 São Paulo, SP

Problemas

158. Nas faces de um dado perfeito (todas as faces têm probabilidade igual a 1/6) são pintados os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Esse dado é lançado sucessivamente até que, pela primeira vez, a soma dos pontos obtidos seja estritamente maior que 12. Qual é o valor mais provável da soma obtida?

(Do livro: Mathematical Quickies de Charles W. Trigg.)

159.Na figura determine o raio da circunferência menor em função do raio R do quadrante.

(Enviado por Amadeu Carneiro Almeida, RJ.)

160. Para que valores do inteiro a equação admite raízes múltiplas?

(Do livro: Problem-solving through problems de Loren C. Larson.)

161. Numa folha havia o seguinte desenho: um quadrilátero ABCD e um paralelogramo com os vértices em lados distintos do quadrilátero. O professor apagou o paralelogramo deixando marcado apenas o seu centro O. Como reconstruir o paralelogramo?
(Olimpíadas Argentinas)

... e probleminhas

1. Dois mercados vendem presunto pelo mesmo preço e estão fazendo as seguintes promoções:

Mercado A: Compre 4 peças e leve 5.

Mercado B: Compre 4 peças e pague 3.

Qual deles oferece o maior desconto?

(Extraído do Equis, n^o 2 - Montevidéu, Uruguai.)

2. Coloque em ordem crescente:

(Extraído do Jornal de Matemática Elementar, n^o 171 - Lisboa, Portugal.)

3. Qual é o valor de x na expressão: ?

(Extraído do Jornal de Matemática Elementar, n^o 171 - Lisboa, Portugal.)

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")

Notas:

1. O Probleminha n^o. 1 da RPM 36 nos foi enviado pelo leitor Antonio Ricardo de Melo Santos. Nossas sinceras desculpas por seu nome ter sido involuntariamente omitido.

2. O leitor Francisco Rocha Fontes Neto, respondendo à pergunta colocada no Probleminha n^o. 1, nos enviou diversos exemplos de outros números interessantes.

Soluções dos problemas propostos na RPM 35

150. Sejam x e y inteiros positivos tais que e . Determine .

Solução:

Para temos ; porém não existem inteiros x e y que verificam essas duas equações.

Para temos ; logo x e y são as raízes 11 e 5 da equação Assim, .

(Solução enviada por diversos leitores.)

151. Numa circunferência de raio R fixe dois pontos B e C. Mostre que o lugar geométrico dos baricentros dos triângulos ABC, onde A é um ponto qualquer dessa circunferência, é uma outra circunferência de raio que corta BC em três segmentos congruentes.

Solução:

Sejam O o centro da circunferência dada de raio R, M o ponto médio de BC e

Para cada A na circunferência dada considere G o baricentro do .

Observe que nos casos degenerados onde ( ) consideramos G no segmento

Reciprocamente, cada ponto dessa circunferência é baricentro de algum com A na circunferência dada. (Por quê?)

(Solução enviada por vários leitores.)

152. Construir, com régua e compasso, um triângulo ABC, conhecendo o ângulo Â, o perímetro e um ponto P do lado BC.

Solução:

Suponha o problema resolvido. Considere uma circunferência que tangencia o lado BC e os prolongamentos de AB e AC nos pontos L, M e N respectivamente (ver figura). Como e segue-se que , onde 2p é o perímetro do triângulo. Segue-se que .

Construção: Determine nos lados do ângulo dado os pontos M e N tais que . Construa a circunferência que tangencia os lados do ângulo A nos pontos M e N. Trace por P uma tangente a essa circunferência determinando os pontos B e C nos lados do ângulo.

(Solução enviada por vários leitores.)

153. Exprimir o número 1997 como uma soma de parcelas positivas, de modo tal que o produto dessas parcelas seja o maior possível.

Observação: No enunciado do problema 153 foi omitido o fato de que as parcelas deveriam ser inteiras. Pedimos desculpas ao professor Morgado, que sugeriu o problema, e aos nossos leitores por essa nossa falha involuntária. Alguns dos leitores que enviaram soluções admitiram que as parcelas deveriam ser inteiras, enquanto outros tentaram, sem conseguir justificar satisfatoriamente, resolver o problema mais geral. Vamos apresentar a seguir a solução no caso de parcelas inteiras positivas.

Solução:

Vamos mostrar inicialmente que nenhuma parcela deve ser maior do que 4. De fato, se existir uma parcela e k for par, a substituição de k por aumenta o valor do parcela igual a 4 pode ser substituída por sem alterar o produto, concluiremos que podemos nos restringir a parcelas iguais a 2 e 3.

Vamos mostrar em seguida que o número de parcelas iguais a 3 deve ser a maior possível. De fato, se existirem parcelas iguais a 2, a substituição de cada grupo de 3 parcelas por duas parcelas iguais a 3 aumenta o valor do produto.

Segue-se que a decomposição de 1997, que corresponde ao maior valor do produto, é formada por uma parcela igual a 2 e 665 parcelas iguais a 3.

A seção de problemas da RPM ganha um ilustre colaborador

Na RPM 36 publicamos a solução do problema do bilhar circular (problema 147) que nos foi enviada por Edner Abhasen do Rio de Janeiro, RJ.

Na sua carta ele afirma ser descendente do matemático árabe Abhasen, que resolveu esse problema no século XI, informando também que esse problema reapareceu em Paris em 1842 e agora na RPM em 1998. Conclui dizendo que esse fenômeno de reaparecimento também pode ocorrer com pessoas, levando-nos a pensar que ele é (ou pelo menos pensa ser) uma reencarnação de seu ilustre antepassado.

Ele promete novas aparições na seção Problemas.

Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas 150 a 153 da RPM 35
Alceu de Amorim Ramos, SP – 150	José Henrique Piccinillo, SP – 150
Alessandra Aparecida da Silva, SP – 150	José Hernandez, SP – 150
Alexissandro P. Bulhões, ES – 150	José Joaquim P. Condé, MG – 151
Altemir das Chagas Lima, PR – 150	Levi Brasilino da Silva, PE – 150, 151
Amadeu Carneiro de Almeida, RJ – 151	Lhioko S. Taira, SP – 150
Anderson Antonio de Araújo, RJ – 150	Luiz Angelo G. Vieira, MG – 150
Antonio C. M. Neto, CE – 150, 151 152, 153	Luiz Gonzaga Viana Neto, CE – 150
Antonio Ferreira Sobrinho, SP – 150, 151	Manoel Eduardo R. Azevêdo, RN – 150
Antonio Luiz Miranda, RJ – 150	Manuel J. de J. Almeida, RJ – 150,151
Antonio M. Santos, PR – 150, 151, 153	Marcelo C. Cavalcanti, ES – 150
Antonio R. de M. Santos, MG – 150	Marcelo Carvalho Ferreira, RJ – 150
Aron Roberto Ferreira, MG – 150	Marcelo Gamba, SP – 151
Astrogecildo Ubaira Brito, AP – 150	Marcelo J. C. da Rocha, RJ – 150
Berenice Vilela A. Alves, MG – 150	Marcos Keller, RJ – 150, 151, 152
Carlos Alberto S. Victor, RJ – 150, 151, 153	Marcos Luiz Henrique, PE – 150, 151
Carlos Cley E. Ladislau, CE – 150	Marcos Vinicius M. Maciel, RJ – 150
Carlos Henrique Lima, PA – 150	Maria de L. F. dos Santos, SP – 150
Cesar Joaquim R. da Silva, RJ – 150	Maria Ivete C. Rodrigues, SP – 150
Cid Carlos L. da Silva, AL – 150	Maurício T. de Oliveira, SP – 150, 153
Cristovom A. Girodo, SP – 150	Maurinei Carlos Santana, MG – 150
Cristovam M. de Souza, PE – 150	Mauro Felix de Souza, RJ – 150
Enrico Carlo L. Martignoni, RJ – 150	Nelio Toshio Kikuchi, SP – 150, 152
Etiene Silva A. Ramos, SP – 150	Noel de Oliveira Santos, SP – 150
F. W. Leão, RJ – 150, 151, 152	Noisés Pereira da Silva, PE – 150
Flávio Ricardo L. Cunha, GO – 150, 153	Otavio L. C. S. Magalhães, MG – 150
Florival C. de Sousa, GO – 150, 151, 152	Paulo Sergio Adami, SP – 150
Francisco C. S. Carvalho, PI – 150	Regina de C. M. de Almeida, RJ – 150
Francisco Rocha Fontes Neto, MA – 150	Regis Sant’Anna, PR – 150, 151,152,153
Frank Emerson T. Casadio, RJ – 150, 153	Ricardo Klein Hoffman, RS – 150
Geovane Duarte Borges, PA – 150	Rogério dos Santos Mendes, PE – 150
Gilberto Tenani, SP – 150	Rosendo Eduardo C. Marcon, RS – 150
Helder Alves de Oliveira, PB – 150	Ruy Carlos Mikitz, RJ – 150, 153
Ivan José Coser, PR – 150	Sebastião M. dos Santos, MG – 150, 153
Ivan Mariano L. Costa, MG – 150	Sérgio Dalmas, SC – 150, 151
João Linneo A. Prado, SP – 151	Sérgio de Paula Silva, RJ – 150
Joaquim M. Coutinho, RJ – 150	Sigridi de Almeida Borges, SP – 150
Jorge André S. de Paiva, BA – 150	Sun H. Ming, SP – 150
Jorge Ferreira dos Santos, RJ – 150	Tsunediro Takahashi, SP – 150
José Carlos G. Gaspar, RJ – 150	Vicente Wilson M. Gaetta, AM – 150
José G. L. Rodrigues, DF – 150, 151	Wanderley Gamba, SP – 150