RPM 37 - Provão/98 de Matemática, MEC-INEP

MEC-INEP - EXAME NACIONAL DE CURSOS 1998

PARTE A

Questões Objetivas Comuns aos Formandos de Bacharelado e de Licenciatura (valor: 100,0 pontos)

A altura aproximada de um prédio de 13 andares, em metros, é:

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 100

das afirmativas abaixo sobre os números naturais é FALSA. Qual é ela?

(A) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do que ele.

(B) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar.

(D) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de seis.

(E) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.

Assinale a única alternativa verdadeira, a respeito de números reais.

(A) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

(B) O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.

(D) Todo número racional tem uma representação decimal finita.

(E) Se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é racional.

A pressão da água do mar varia com a profundidade. Sabe-se que a pressão da água no nível do mar é de 1 atm (atmosfera) e que a cada 5 m de profundidade a pressão sofre um acréscimo de 0,5 atm. A expressão que dá a pressão p, em atmosferas, em função da profundidade h, em metros, é:

(A) (D) (B) (E) (C)

O período da função

é:

(A) (B) (C) (D) (E)

Sendo a função F, definida em [-2,2], representada no gráfico acima, pode-se afirmar que a função:

(A) é positiva em todo o domínio.

(B) é negativa em todo o domínio.

(D) é negativa entre 0 e 1.

(E) é negativa quando é negativa.

Se , então:

(A) (D) ou (B) (E) e C)

Um aluno deu a solução seguinte para a inequação abaixo:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Mas 0, por exemplo, satisfaz a inequação (1) e não é maior do que 3. Assim, houve um erro na passagem de:

(A) (1) para (2) (D) (4) para (5)

(B) (2) para (3) (E) (5) para (6)

A massa de material radioativo presente em uma amostra, no instante t, é dada por
chamada de vida média do material. O tempo necessário para que a massa do material radioativo se reduza à metade (chamada de meia vida do material) é:

10.

A soma de todos os múltiplos de 6 que se escrevem (no sistema decimal) com dois algarismos é:

(A) 612 (B) 648 (C) 756 (D) 810 (E) 864

11.

A figura abaixo mostra uma seqüência de triângulos de Sierpinski.

Nível 0 Nível 1 Nível 2

...

O processo começa no nível zero, com um triângulo eqüilátero de área 1. Em cada passo a seguir, cada triângulo eqüilátero é dividido através dos segmentos que ligam os pontos médios dos seus lados e é eliminado o triângulo central assim formado. A área que resta no nível n (indicada nas figuras pelo sombreado) é dada por:

12.

O resto da divisão de 12¹² por 5 é:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

13.

Considerando o sistema

(A) a solução do sistema representa uma reta.

(B) a solução do sistema representa um ponto.

(D) a primeira equação representa uma reta.

(E) as duas últimas equações representam planos paralelos.

14.

(A) (B) (C)

(D) (E)

15.

A área do triângulo isósceles da figura acima é:

16.

Na figura acima, ABCD é um tetraedro regular. Considere R o ponto médio de BC e S o ponto médio de AD e assinale a afirmativa FALSA, a respeito dessa figura.

(A) AR é altura do triângulo ABC.

(B) RS é altura do triângulo ARD.

(D) O triângulo BSC é isósceles.

(E) O triângulo ARD é eqüilátero.

17.

Sobre polígonos semelhantes, assinale a única afirmativa verdadeira.

(A) Todos os quadriláteros que possuem os 4 lados iguais entre si são semelhantes.

(B) Dois quadriláteros que possuem os lados respectivamente proporcionais são semelhantes.

(D) Se os lados de dois pentágonos são respectivamente paralelos, então eles são semelhantes.

(E) Se os lados de dois triângulos são respectivamente paralelos, então eles são semelhantes.

18.

A região do plano definida por e é:

(A) (B) (C) (D) (E)

19.

(A) –2 (B) –1 (C) 1 (D) 2 (E) 3

20.

Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é:

(A) 10 000 (C) 7 361

(B) 9 000 (D) 7 290 (E) 8 100

21.

Quatro atiradores atiram simultaneamente em um alvo. Qual a probabilidade aproximada de o alvo ser atingido, sabendo-se que cada atirador acerta, em média, 25% de seus tiros?

(A) 100% (C) 68%

(B) 75% (D) 32% (E) 25%

22.

Assinale a opção que melhor representa um número complexo z e seu inverso 1/z.

(A) (B) (C) (D) (E)

23.

O lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que a parte imaginária de z² é igual a 1 é um(a):

A) ponto (B) reta (C) circunferência (D) parábola (E) hipérbole

24.

O número de raízes reais da equação é:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 7 (E) uma infinidade

25.

O resto da divisão do polinômio por é:

(A) –19 (B) –5 (C) 0 (D) 5 (E) 19

26.

O número complexo é raiz do polinômio , de coeficientes reais. Pode-se garantir que é divisível por:

(A). (D)

(B) (E)

(C)

27.

O gráfico acima é o da derivada de uma função f. Um gráfico possível para f é:

(A) (B) (C) (D) (E)

28.

A área máxima que pode ter um retângulo inscrito em um semicírculo de raio 1, como o da figura acima, é:

(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 1 (D) 3/2 (E) 2

29.

30.

(A) (B) (C) (D) (E)

31.

Seja P a transformação de IR³ em IR³ definida por . Se a imagem de uma reta r, por P, é um ponto, então:

(A) esta reta r é paralela a OX.

(B) esta reta r é paralela a OY.

(D) esta reta r necessariamente contém a origem.

(E) não existe tal reta r.

32.

Chama-se núcleo de uma transformação linear T o conjunto dos pontos cuja imagem por T é nula. O núcleo da transformação linear T: IR³ ® IR³, definida por , é o subespaço do IR³ gerado por:

(A) (B) (C) (D) (E)

33.

Uma curva é tal que a tangente em cada um de seus pontos é perpendicular à reta que liga o ponto à origem. A curva satisfaz, então, a equação diferencial:

(A) (B) (D) (C) (E)

34.

Considere as afirmativas abaixo.

I – Todo corpo é um domínio de integridade.

II – Todo domínio de integridade é um corpo.

III – Todo subanel de um anel é um ideal deste mesmo anel.

IV – Todo ideal de um anel é um subanel deste mesmo anel.

As afirmativas verdadeiras são:

(A) apenas I e III. (B) apenas I e IV. (C) apenas II e III.

(D) apenas II e IV. (E) apenas III e IV.

35.

(A) 0 (B) 2/3 (C) 1 (D) 5/4 (E)

36.

Seja ( ) uma seqüência de números reais e seja ( ) a seqüência definida por . Considere as afirmativas abaixo:

I – se ( ) é convergente, então ;

II – se , então ( ) é convergente;

III – se ( ) é limitada, então ( ) é limitada.

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):

(A) apenas I. (D) apenas II e III.

(B) apenas III. (E) I, II e III.

37.

Seja f: IR ® IR uma função contínua. Dado um subconjunto S de IR, seja .

Considere as afirmativas:

I – se J é um intervalo, então f(J) é um intervalo;

II – se J é um intervalo aberto, então f(J) é um intervalo aberto;

III – se J é um intervalo fechado e limitado, então f(J) é um intervalo fechado e limitado.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A).I apenas. (D) I e III apenas.

(B) III apenas. (E) I, II e III.

(C).I e II apenas.

38.

Considere o trecho de programa abaixo:

repita as duas instruções a seguir

até que , escreva s.

(Observação: a notação expressão significa que o valor da variável s é substituído pelo resultado da expressão.)

O valor escrito no final do programa é:

39.

O sistema da figura acima está em equilíbrio. Entre as massas m₁ e m₂ dos blocos e suas distâncias d₁ e d₂ ao ponto de apoio existe a relação:

40.

Uma partícula é colocada, sem velocidade inicial, no topo da rampa indicada na figura acima. Após deslizar, sem atrito, ela chega ao final da rampa com velocidade de módulo v. A respeito desta situação, assinale a opção correta (use g =10 m/s²).

(A) v não pode ser determinada, pois depende da massa da partícula.

(B) v não pode ser determinada, pois depende da forma da trajetória.

(D) v é igual a 5 m/s.

(E) v é igual a 10 m/s.

PARTE B

Questões Abertas Comuns aos Formandos de Bacharelado e de Licenciatura (valor: 100,0 pontos)

Questão n^o 1

Em uma certa cidade, o preço de uma corrida de táxi é calculado do seguinte modo: (i) a “bandeirada” é R$ 2,50; (ii) durante os primeiros 10 km, o preço da corrida é de R$ 0,80 por km; (iii) daí por diante, o preço da corrida passa a ser de R$ 1,20 por km. Para uma corrida de até 30 km , f(x) designa o preço total da corrida que começou no km 0 e acabou no km x. Suponha que x varie continuamente no conjunto dos números reais.

a) Expresse f(x) algebricamente.

b) Calcule o preço de uma corrida de 30 km.

c) Faça um esboço do gráfico de y = f(x).

(valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 2

O losango é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais. A partir desta definição, pode-se demonstrar a seguinte afirmação: “Ter diagonais perpendiculares é uma condição necessária para que um quadrilátero seja um losango”.

a) Enuncie esta afirmação sob a forma de um teorema do tipo “Se... então...”.

b) Demonstre o teorema enunciado no item a).

c) Enuncie a recíproca do teorema no item a) e decida se ela é ou não verdadeira, justificando a sua resposta.

Dados/Informações adicionais:

O teorema sobre os ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal pode ser considerado conhecido, bem como os casos de congruência de triângulos.

(valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 3

Seja f: IR ® IR a função dada por .

a) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa .

b) Calcule um valor aproximado de , utilizando o item a).

(valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 4

Considere a seqüência , , , ... definida por e , para . Mostre que para todo .

(valor: 20,0 pontos)

Sugestão: Utilize o Princípio da Indução Finita.

Questão n^o 5

Por esta razão, ela representa, na base canônica do IR³, uma rotação S em torno de um eixo, contendo a origem, cuja direção é dada por um autovetor v com autovalor 1. Determine um vetor não nulo v Î IR³ na direção do eixo de rotação de S.

(valor: 20,0 pontos)

PARTE C

Questões Abertas Específicas para os Formandos de Licenciatura
(valor: 100,0 pontos)

Questão n^o 6

Um professor, ao preparar uma prova para duas turmas de 6^a série, resolveu dar o mesmo problema, mudando apenas os dados numéricos. Assim, apresentou as formulações abaixo.

Turma A: Com 4 litros de leite, uma babá de uma creche faz 18 mamadeiras iguais. Quantas mamadeiras iguais a essas ela faria com 8 litros de leite?

Turma B: Com 4 litros de leite, uma babá de uma creche faz 18 mamadeiras iguais. Quantas mamadeiras iguais a essas ela faria com 10 litros de leite?

Em termos de nível de dificuldade, as duas formulações são equivalentes? Justifique sua resposta.

(valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 7

Observe as duas soluções apresentadas para a questão:

“Determine p para que 2 seja raiz da equação ”.

Solução A: Substituindo na equação, tem-se , logo .

Solução B: Resolvendo a equação:

Igualando x a 2, tem-se: , logo .

Analise estas soluções sob o ponto de vista de um professor que quer avaliar o nível de compreensão da noção de raiz de uma equação. (valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 8

Ao perceber que um aluno efetuou uma adição de frações adicionando numeradores e denominadores, dois professores agiram da seguinte forma:

- O professor A corrigiu a tarefa cuidadosamente no quadro, usando redução ao mesmo denominador;

- O professor B, inicialmente, propôs a esse aluno que efetuasse: e comparasse o resultado obtido com cada uma das parcelas.

Analise os procedimentos dos professores A e B frente ao erro cometido pelo aluno. (valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 9

Você está conduzindo um curso para uma das últimas séries do Ensino Fundamental, e vai começar o assunto “Áreas das figuras planas”. Para iniciar com um exemplo sugestivo, você fez com que seus alunos desenhassem um retângulo com dimensões de 7 cm e 5 cm e pesquisassem o número de quadrados unitários (de 1cm²) em que se pode decompor o retângulo dado. Todos perceberam que, dividindo o lado maior em 7 segmentos e o lado menor em 5 segmentos de 1 cm, e traçando paralelas aos lados, o retângulo ficava decomposto em quadrados unitários e, portanto, sua área era de 35 cm². Algumas experiências mais com outros números inteiros positivos e, finalmente, com inteiros positivos genéricos a e b convenceram a todos de que a área de um retângulo é dada (em cm²) pela fórmula , quando os lados não paralelos têm medidas a e b (em cm).

Na aula seguinte, um aluno pergunta: “E o que acontecerá se os lados do retângulo medirem 3,6 cm e 6,2 cm?”

Como você lidaria com esta pergunta? (valor: 20,0 pontos)

Questão n^o 10

A discussão sobre o número de raízes distintas de uma equação do 2^o grau é comumente feita por meio do discriminante da equação. Para o caso da equação , ( , ), isso pode ser feito geometricamente, como mostra a figura.

Nela, o arco é uma semicircunferência de diâmetro AB, com e .

As raízes r e s da equação são representadas pelos segmentos AF e BF, respectivamente.

De fato, e , uma vez que o triângulo AEB é retângulo e EF é a altura relativa à hipotenusa.

a) A partir da construção acima, conclua qual é a relação entre r e s, no caso em que .

b) Calcule o valor do discriminante da equação para e compare o que você concluiu com o observado em a).

c) Um mesmo resultado foi analisado sob os pontos de vista geométrico e algébrico. Para um professor, quais as vantagens de adotar esse procedimento em sala de aula? (valor: 20,0 pontos)

Observação: Deixamos de publicar as questões abertas específicas para os formandos de bacharelado por falta de espaço.

Gabarito das questões de múltipla escolha
1. B	6. C	11. B	16. E	21. C	26. E	31. C	36. A
2. C	7. D	12. B	17. E	22. A	27. D	32. D	37. D
3. E	8. A	13. B	18. A	23. E	28. C	33. A	38. D
4. B	9. A	14. E	19. D	24. B	29. D	34. B	39. D
5. C	10. D	15. A	20. D	25. B	30. A	35. A	40. E