Paulo Afonso da Mata Machado
Belo Horizonte, MG

  No meu tempo de aluno do Colégio Estadual de Minas Gerais, em Belo Horizonte, havia um inspetor de nome Alcides que tinha como uma de suas funções ir para a sala na qual o professor houvesse faltado e ficar com os alunos durante o horário da aula. Ele cumpria essa função com muito gosto e, geralmente, ia para o quadro-negro, como se estivesse dando aula, e perguntava: - Como se calcula o quadrado de um número terminado em 5?

Muitos alunos reclamavam: - Essa não, Alcides, conta outra!

Ele não ligava para os comentários e enunciava a regra:

- Separa-se o último algarismo do número e multiplica-se o número restante por seu sucessor; em seguida, acrescenta-se 25.

E dava o exemplo esclarecedor:

- Seja o número 35; separamos o último algarismo e fica  3; em seguida multiplicamos pelo sucessor, ou seja, 4:  3 vezes quatro é igual a  12.

Depois acrescentamos  25.  Pronto! O resultado é  1 225.

A lei de Alcides é muito fácil de ser explicada. Qualquer número terminado em  5  pode ser escrito como sendo igual a  , sendo  y  o número que resta após a retirada do último algarismo. Se elevamos esse número ao quadrado, obtemos  ou . Está demonstrada a lei de Alcides.

Certo dia, encontrei-me com Alcides dando voltas na Praça da Liberdade e conversamos sobre o colégio no qual estivemos juntos trinta anos atrás. Perguntei a ele:  - Como se calcula o quadrado de um número terminado em  5? Ele foi pronto na resposta lembrando-se perfeitamente da regra.

Pois bem, meu caro Alcides, a sua lei vai ser útil para que eu resolva o problema 134 da  RPM 31: “O número natural    tem  2n  algarismos. Os    primeiros são iguais a  1,  os  n  seguintes são iguais a  2  e o último é  5.  Mostre que, para  ,  N  é um quadrado perfeito e determine, em função de  n,  a raiz quadrada de  N”.

Se  ,  então  m  deve terminar em  5  e pela lei de Alcides o número
consecutivos.

Analogamente à solução do problema 134 publicada na  RPM 33,  temos

  .

Observando que o segundo número desse produto é um inteiro, pois, sendo a soma dos algarismos de    igual a  3,  esse é um número divisível por  3. Além disso, como
 
 seja,  m  é o número formado pelos algarismos de  k seguido de  5.