Cláudio Arconcher
Jundiaí, SP

No fim do ano passado, a RPM recebeu um artigo do Prof. Scipione Di Pierro Netto abordando o conceito de ângulo. Ao ser apreciado pelo Comitê Editorial veio à tona um problema que nós, professores de Matemática, enfrentamos com freqüência: é melhor definir ângulo como uma região do plano, ou como uma reunião de duas semi-retas? Ficou decidido que a RPM, em números consecutivos, publicaria artigos defendendo cada uma das definições. Neste número apresentamos uma defesa do conceito de ângulo como uma região de um plano e agradecemos ao Prof. Scipione por ter levantado o problema.

Definição: Considere duas semi-retas de mesma origem, não opostas, contidas num plano  p. Elas separam o plano  p  em duas regiões, uma convexa que denominamos ângulo convexo, outra côncava que denominamos ângulo côncavo.

exclusivos para cada um deles,  a  e  b  como na figura, ou especificar de qual dos ângulos estamos falando.

Caso as semi-retas sejam opostas teremos o plano dividido em dois semi-planos. Denominamos cada um deles de ângulo raso. Se as semi-retas são coincidentes dizemos que temos um par de ângulos: um ângulo nulo que se reduz a semi-reta e um ângulo de uma volta que é o plano todo. Aqui deve-se notar a existência dos lados coincidentes. Em todos os casos o ponto  O  é o vértice do ângulo.

Em seguida atribui-se medida ao ângulo. Define-se então o grau sexagesimal. Ângulos convexos apresentam medidas menores do que 180^o; ângulos côncavos, medidas maiores do que 180^o. Ao ângulo raso atribui-se 180^o, ao ângulo nulo, 0^o e ao ângulo de uma volta, 360^o.

Muitas são as situações em sala de aula nas quais o conceito de ângulo como região do plano facilita o entendimento. Vejamos dois casos:

Exemplo 1: Na figura abaixo temos um pentágono inscrito na circunferência. Determine o valor da soma 

O aluno deve reconhecer os ângulos de medidas  x  e  y  como ângulos inscritos e lembrar-se do teorema que relaciona o ângulo inscrito com o ângulo central correspondente. Muitos estudantes ficam em dúvida no momento de identificar o ângulo central correspondente ao ângulo de medida  x. Quando podemos dizer que o ângulo central correspondente é aquele cujo arco está “dentro” do ângulo inscrito (o que é possível por ser uma região plana) conseguimos melhorar o entendimento.

Superado esse ponto podemos escrever:    e concluir que  .

Uma solução mais criativa para esse problema é apresentada na figura a seguir: 

Notando o quadrilátero inscrito  ABCE  e lembrando que seus ângulos opostos são suplementares, temos:  ou .

Exemplo 2: Consideremos o estudo do cone circular reto na Geometria Métrica. É extremamente educativo nesse estudo produzir modelos dos sólidos. Nesse caso a planificação da superfície lateral do cone é um setor circular. Como devemos apresentar várias formas para o cone é interessante construir um “chapéu chinês”. A materialidade do ângulo côncavo aqui é, então, decisiva para o entendimento. Novamente temos a relevância do ângulo como região plana.