Jesús A. Pérez Sánchez
Venezuela

O dia  29  de março de  1796  foi crucial na vida de Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Faltava cerca de um mês para o seu 19^o aniversário e ele estava para ingressar na Universidade de Göttingen, sem saber ainda se a sua escolha seria a Filologia ou a Matemática. Nesse célebre dia, o jovem Gauss (que viria a ser chamado o Príncipe dos Matemáticos) encontrou uma bela solução para um velho problema de Geometria. Após essa espetacular façanha ficou tão entusiasmado que renunciou à sua possível intenção de ser filologista e resolveu dedicar sua vida à Matemática e suas aplicações. Mas qual foi o problema resolvido por Gauss naquela ocasião?

Vejamos um pouco de história: Durante mais de 2000 anos o problema de dividir uma circunferência em  n  partes iguais, usando somente régua e compasso, permaneceu como foi deixado pelos gregos. Vamos dar uma idéia do problema: Se uma circunferência é dividida em  n  partes iguais, unindo os sucessivos pontos de divisão por cordas, obtemos um polígono regular de  n  lados. Sabemos que é fácil construir, somente com régua e compasso, um  polígono regular de  2n  lados a partir de um polígono regular de  n  lados. Os gregos sabiam construir um polígono regular de 3 lados e também um polígono regular de 5 lados (nesse caso aparece o problema do segmento áureo ou dividir um segmento em meia e extrema razão).

Além disso provaram que se um polígono regular de  n  lados e outro de  m  lados, com  m  e  n  primos entre si, podem ser construídos (com régua e compasso), então pode-se construir um polígono regular de  mn  lados (ver [1]).

Em resumo: Os gregos sabiam construir, com régua e compasso, um polígono regular de  n  lados, se  n  fosse um número natural da forma:

   ,  r  e  s  inteiros iguais a 0 ou 1

O passo seguinte era construir, com os instrumentos citados, polígonos regulares de  7,  9,  11  e  13  lados e, embora o problema tenha sido estudado por grandes matemáticos como Fermat e Euler, nenhum progresso fora feito. Não chegaram a encontrar um método, porque tais construções são impossíveis, como foi provado por aquele garoto alemão que estava dividido entre a Matemática e a Filologia.

Gauss provou o seguinte:

Um polígono regular de  n  lados é construtível se, e somente se,  n  é um número natural da forma  , com  s  inteiro não negativo, e cada    primo de Fermat, isto é,  ,  com    inteiro não negativo. Além disso,    para  .

Assim ficou provado pela primeira vez que um polígono regular de  17  lados é construtível com régua e compasso ( ), fato desconhecido até então.

Por sinal, como curiosidade histórica, podemos assinalar que Fermat (1601-1665) conjeturou que todo número da forma  ,  com  k  inteiro não negativo, é primo. De fato, para  ,  obtemos, respectivamente,  ,  que são primos; mas Euler (1707-1783)  provou que  , logo, não primo (ver [1]).

Gauss sempre lembrou com singular orgulho a grande proeza daquele 29 de março. Após sua morte foi erigida, em Göttingen, uma estátua de Gauss em bronze e, como homenagem muito apropriada, seu pedestal tem a forma de um polígono regular de 17 lados.

Referências Bibliográficas e Leituras Recomendadas

[1]  Bold, Benjamim. Famous problems of geometry and how to solve them. New York: Dover Publications, 1982.

[2]  Karlson, Paul. A  magia dos números. Editora Globo, 1961. (Título original: Vom Zauber der Zahlen.)

[3]  Bell, E. T. Men of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1937.

[4]  Eves, Howard. Introdução à História da Matemática. Editora da UNICAMP, 1995.

[5]  Boyer, Carl. História da Matemática. Editora da Universidade de São Paulo, 1974.