Sérgio Alves
IME - USP

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RPM - O leitor pergunta
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05315-970 São Paulo, SP
 

  Um leitor  de Jacarezinho, PR,  nos pede para resolver a equação

,

sendo  n  um inteiro positivo.

dada fica  ,  que tem como soluções os inteiros  1  e  .

Lembrando que o símbolo    representa um número positivo, temos:

  logo,    e 

 

  Um leitor de Maringá, PR, nos pede a solução do seguinte problema:

Dois observadores, situados nos pontos  A  e  B  de um plano  ,  querem calcular a altura  HM  de um balão em relação a    conforme a figura. Num mesmo instante, eles medem os ângulos  ,    e  . Conhecendo a distância  m,  determinar  HM.

RPM: A reta  MH  é perpendicular ao plano  ,  de modo que  . No triângulo retângulo  temos    (1).

 valores numéricos dados teremos:

.

A altura do balão é então, aproximadamente, 180 m.  

 

  Um leitor de São Paulo, SP, nos envia o seguinte problema:

Num tetraedro  ABCD  considere    e    tais que   e    Mostre que a secção do tetraedro pelo plano  MNP  é um paralelogramo.

RPM:  Os planos  MNP  e  ABD  são distintos (o ponto  P  está em um e não no outro) e possuem o ponto  M  em comum. Logo, sua intersecção é uma reta  r  que passa por  M.

 

Afirmação: As retas  r,  PN  e  AD  são paralelas.

De fato, como    e  ,  temos que a reta  PN  é paralela ao plano  ABD  e, portanto, é paralela à reta  r,  já que  r  e  PN  são coplanares.

 

Temos, assim,    No plano  ABD,  a reta  r  que corta    no ponto  M,  interceptará também  num ponto  Q.  Segue que a reta  r  é  a reta   MQ  e então 

Analogamente, trabalhando com os planos  MNP  e  BCD,  concluímos que  ,  de modo que o quadrilátero  MPNQ  é um paralelogramo.

 

 

Respostas dos Probleminhas

                        

1)      Mercado B.      

2)      6200, 2800, 5400, 3600.

3)      142.