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Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0
a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame,
verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos
aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão
havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para
todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a
ser 80 e a dos reprovados 68,8. a)
Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes
da atribuição dos 5 pontos extras. b)
Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos,
inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
A questão é
muito interessante, pois é de solução simples (tente!) e, ao
mesmo tempo, dá o que pensar. Uma pergunta natural é se é possível,
de fato, uma situação dessas ocorrer. Como o número de alunos é
inteiro, as notas variam em um intervalo limitado (de 0 a 100) e
existe uma nota (70) que divide os alunos entre aprovados e
reprovados, não se pode esperar que, com dados arbitrários, o
problema admita um modelo, isto é, que exista uma distribuição de
notas em uma classe real que forneça as médias dadas. Colocamos então as seguintes questões: 1)
Mostre que existe uma distribuição de notas tal que possa
ocorrer o que foi descrito no enunciado do problema da Fuvest. 2)
Fixando todos os dados, exceto a média dos reprovados após
a distribuição dos pontos extras, mostre que os únicos valores
possíveis para a nova média dos reprovados são 68,8 (escolhido
pela Fuvest) e 66 (a única outra escolha possível).
Severino Toscano do
R. Melo
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