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Sônia
P. Carvalho
Nosso
objetivo é estudar a dinâmica
de um número positivo menor do que 1 pela aplicação da função onde
Este
é um exemplo interessante: apesar de relativamente fácil de ser
estudado, permite observar alguns dos conceitos sofisticados que aparecem
no estudo de sistemas caóticos. Vamos
começar observando como funciona a função
f (x)
. Para
Para
Observe
a tabela
Tomemos
o ponto
ou,
se preferirmos, podemos fazer graficamente,
O chama-se
a órbita do ponto
É
um bom exercício para o leitor achar a órbita de
Todo
número inteiro positivo, no sistema decimal, é representado como soma de
unidades, dezenas, centenas, etc., isto é, como soma de diferentes potências
de 10, com coeficientes cujo valor vai de 0 a 9. Por exemplo: 2 728 é 2
milhares, 7 centenas, 2 dezenas e 8 unidades, ou seja,
Na
base 2 as coisas funcionam de maneira análoga. Um número inteiro
positivo na base 2 é representado como soma de potências de 2, com
coeficientes valendo 0 ou 1. Por
exemplo,
Podemos
escrever:
No
sistema decimal um número menor do que 1 aparece na forma
Na
base 2
acontece a mesma coisa, só que com potências negativas de
2 e os coeficientes só
podem valer 0
ou 1. Por exemplo,
Os
números, representados na base 2,
Dobrar
um número na base 2 é muito bacana. Vejamos num exemplo como funciona.
Seja
Logo,
Logo,
na base 2 temos:
Vemos
que multiplicar por 2, na base 2, é andar com a vírgula para a direita.
Observe também que dividir por 2 corresponde a andar com a vírgula para
a esquerda. Exatamente como acontece na base
10, ao se multiplicar e dividir por
10. De
volta a y = f(x)
= 2x
Tome
Observe
também que
Deixamos
para o leitor achar as órbitas de
Elas têm ciclo?
Você
deve ter observado que, se um número escrito na base
2 tem uma representação
finita, a órbita dele vai até o zero e fica por lá. Se o número tem
uma representação periódica, a órbita, a partir de uma certa hora,
começa a se repetir, fazendo um ciclo. E, se a representação é
infinita e não é periódica, a órbita fica “passeando” pelo
segmento
Um
número real pode ser um racional, isto é, uma fração da forma
Não
é difícil mostrar que a representação de uma fração na base 2 é
finita se e somente se o denominador é uma potência de 2 (estamos
falando de frações na forma reduzida, isto é, com numerador e
denominador primos entre si). Observemos
agora o que acontece com as representações periódicas. Tomemos
isto
é, uma fração com denominador diferente de uma potência de 2 (e tinha
mesmo que ser, pois já vimos que, se o denominador fosse potência de 2,
então a representação seria finita!). Observemos
agora ao contrário. Tomemos
Vemos
que
e
sua representação na base 2 é
O
que esses exemplos sugerem (e isso pode ser demonstrado) é que uma fração
cujo denominador não é uma potência de 2 dá uma representação periódica
na base 2. Na
verdade, toda fração, ou número racional, quando escrita na base 2, ou
tem um desenvolvimento finito (se o denominador é potência de 2) ou tem
uma representação infinita e periódica (no caso contrário), e
vice-versa. E os números irracionais terão representação infinita e
que não se repete. Juntando
esses fatos com o que sabemos sobre a relação entre representação na
base 2 e comportamento das órbitas, podemos fazer o seguinte resumo: |
Imagine
uma função que apresente as seguintes características: 1)
Existem órbitas
periódicas de todos os períodos. (Embora cada órbita periódica seja
simples, a presença de todos os períodos torna a evolução do sistema
mais complexa.) 2)
Existe
sensibilidade em relação aos dados iniciais, isto é, em todas as regiões
podemos observar pontos que num certo instante estão próximos e após
algum tempo estão muito afastados. (Esse fenômeno de espalhamento das órbitas
torna muito difícil a tarefa de fazer previsões sobre sistemas caóticos.
É o que ocorre com as previsões meteorológicas.) 3)
Existe uma órbita
que se espalha de tal maneira que, não importa onde estejamos, em algum
instante ela se aproximará (arbitrariamente) de nós. O
leitor consegue imaginar tudo isso ocorrendo ao mesmo tempo? É
o caos!
Ou seja, toda função que apresenta as características descritas
nos itens acima, tem uma dinâmica
caótica. Para
muitos cientistas, basta haver sensibilidade em relação aos dados
iniciais para que haja caos. Vamos
ver agora que a função
Os
números cuja representação na base 2 é periódica tem ciclos em suas
órbitas. Por exemplo:
Chamamos
de período da órbita o tamanho do ciclo. Então, o período será o número
de casas da parte que se repete na representação do número na base 2.
Como podemos inventar números com partes que se repetem com qualquer
tamanho, teremos órbitas periódicas, com qualquer período.
Para
saber se dois números estão próximos, precisamos calcular a distância
entre eles. Mas calcular a distância entre dois pontos na reta é pegar o
valor absoluto da diferença entre eles, ou seja, distância
Por
exemplo, se
distância
Assim,
Mas
pois
é a soma da PG de razão
Assim,
O
mesmo raciocínio nos fará concluir que, se dois números têm as
k
primeiras
Observemos
as órbitas de
Já
a O
(
Como
O
ponto
Conclusão:
O que observamos é que, apesar de as órbitas de
Vamos
achar um ponto
O
ponto
Observemos
primeiro que podemos construir blocos de tamanhos variados usando
0’s e 1’s. Por exemplo, com uma casa apenas temos os blocos:
0 e
1. Com duas casas temos 4 blocos:
00, 01, 10 e
11. Com 3 casas temos 8 blocos: 000, 001, 010, 100, 011, 101, 110
e 111. Com 4 casas
temos 16 blocos: 0000, 0001, 0010, 1000, 0100, 0011, 0101, 1001, 0110,
1100, 1010, 0111, 1011, 1101, 1110 e 1111. Por meio da análise combinatória,
sabemos que existem
O
ponto
![]() bloco 001 corresponde às 3 primeiras casas de ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Assim,
a órbita de
Referências
Bibliográficas e Leituras Recomendadas [1] Fomin, S. V. Sistemas de numeração.
Editorial Mir, Moscou, 1984. [2] Ifrah, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Editora
Globo, 1989. [3] Niven, Ivan. Números
racionais e irracionais. Coleção Fundamentos da Matemática
Elementar, Sociedade Brasileira de Matemática, 1961. [4] Bogutchi, Tânia. Aritmética elementar em computadores, monografias de especialização,
Departamento de Matemática, UFMG, 1991. [5] Gleick, James. CAOS - A criação de uma nova ciência. Editora
Campus, 1991. [6]
Stewart, Ian. Será que Deus
joga dados? A nova matemática do caos. Jorge Zahar Editor, 1991. [7] Ruelle, David. Acaso e Caos. Editora
UNESP, 1993. [8]
Peitgen H.O., Jurgens, H., Saupe D. Fractals
for the Classroom. Springer Verlag, Berlim, 1992. [9]
Devaney, Robert. A First Course in
Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley Pub. Comp., Inc.,
1992.
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