Alciléa Augusto
Rio de Janeiro, RJ

Correspondência:
RPM – Cartas do leitor
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     Octógono: perverso ou genial?  

O colega Régis de Sant’Ana, de Curitiba, PR, não achou o octógono da pág. 33 da RPM 35 tão perverso assim e notou nele peculiaridades curiosas:

      há simetria em relação às diagonais que contêm o centro do quadrado;

      os 8 lados são iguais e também são iguais os ângulos opostos;

      os triângulos retângulos cujas hipotenusas ligam um vértice do quadrado ao ponto médio de um lado e não têm lados em comum com o quadrado são semelhantes ao triângulo de lados  3,  4  e  5.

Escreve-nos também o colaborador e colega Hideo Kumayama, de São Bernardo do Campo, SP, dizendo preferir chamar o tal octógono de genial e não de perverso, pois é possível calcular várias medidas de ângulos e segmentos que se formam, mostrando que o octógono não é regular de dois modos: verificando que seus ângulos internos não são todos congruentes entre si ou constatando que há duas diagonais que passam pelo centro do quadrado e que não são congruentes, uma delas é a metade do lado do quadrado de partida e a outra é a terça parte da diagonal desse quadrado. Sugere, então, um outro problema ao leitor: obter por meio de dobras um octógono regular a partir de uma folha quadrada de papel.

 

 

     Medidas fictícias  

Escreve-nos o colega Maurício Ary Jalom, do Rio de Janeiro, RJ, contando que descobriu um deslize num problema enunciado em livro de Matemática para a 8a série. Pedia-se: “no trapézio retangular abaixo, ache o raio do círculo nele inscrito”.

 

 
fato de que com as dimensões dadas o trapézio não é circunscritível, pois não satisfaz o teorema de Pitot. Diz o teorema de Pitot que num quadrilátero circunscrito a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. (Vale a recíproca.)

Motivado por esse engano, o colega encontrou o seguinte resultado:

Em todo trapézio retângulo circunscritível, a altura deve ser a média harmônica entre as bases. Isto é, se um trapézio retângulo de base maior  x,  base menor  y  e  altura  h  é circunscritível, então:  .

E a partir daí analisa vários trapézios de bases 15 e 20:

 

 

 

 

 

O trapézio é retângulo mas não é circunscritível. (A relação de Pitágoras está satisfeita, mas a de Pitot não.)

 

O trapézio é circunscritível, mas não é retângulo. (Esses números satisfazem a relação de Pitot, mas não a de Pitágoras.)

 

 

Este sim é o trapézio que corresponde ao problema: ele é retângulo, circunscritível e sua altura é a média harmônica entre suas bases.

RPM:  Agradecemos ao colega a colaboração e reiteramos aqui a observação que se encontra na RPM 35, pág. 58, quanto à necessidade de cuidado na verificação da compatibilidade dos dados numéricos em problemas em geral e nos de Geometria em particular.

 

     Mestrado e doutorado em Matemática

Escreve-nos o estudante e colega Vauvenargues Miguel, de Caucaia, CE, perguntando sobre as diversas áreas de mestrado e doutorado dentro da Matemática e Informática. 

RPM: São muitas essas áreas. Mesmo nos restringindo só ao Brasil, ainda assim será difícil responder a essa questão. Em linhas gerais, pode-se dizer que no Brasil existem cursos de mestrado em áreas da Geometria, Análise e Álgebra, Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos, Lógica e Fundamentos e, ainda, em áreas de Computação, de Estatística e Probabilidade e, mais recentemente, em Educação Matemática. Dependendo do centro a que o estudante se dirija, vai encontrar especialistas em algumas subáreas dessas citadas.

Centros que oferecem cursos de mestrado em Matemática já são muitos no Brasil. Pedindo aos leitores que completem a lista com algum centro do qual não temos conhecimento, citamos alguns: o IMPA (mesmo endereço da SBM), as PUCs (a do Rio tem áreas de Matemática e de Educação Matemática, a de São Paulo tem Educação Matemática), as universidades estaduais de São Paulo - USP, com campus em São Carlos e em São Paulo (este último oferece mestrado e doutorado em Matemática (IME) e em Ensino de Ciências e Matemáticas (FE)), UNICAMP e UNESP (que nos campus de Rio Claro tem a área de Educação Matemática), muitas das universidades federais, entre elas a do Ceará, seu Estado, mas também outras como a de Pernambuco, Minas Gerais, Rio de Janeiro (que tem áreas de Matemática e de Educação Matemática), Fluminense, São Carlos, Santa Catarina, Rio Grande do Sul, e também a Universidade Santa Úrsula, no Rio de Janeiro, que tem a área de Educação Matemática. Quase todos esses centros têm atividades nos meses de verão e começam a receber as propostas dos candidatos em agosto ou setembro de um ano para início do curso no ano seguinte. Quanto ao doutorado, o número de centros em que ele é oferecido é bem menor, exigindo quase sempre que o candidato já tenha mestrado. Enquanto faz o mestrado, é possível conhecer melhor quais são esses centros e quais as áreas que cada um pode oferecer.
 

 

     Razões e proporções  

O colega da carta anterior ainda nos pergunta sobre um problema apresentado por um aluno: que número é menor que 60 na mesma proporção em que é maior que 50? O problema está mal formulado, pois, em primeiro lugar, proporção já é uma igualdade de razões. Talvez o aluno quisesse dizer na mesma razão, mas ainda assim seria preciso dizer quais as razões (ou quocientes) que ele gostaria que fossem iguais. O número  x = 55   está entre  50  e 60 e as diferenças  x 50   e  60 x   são iguais, mantendo, portanto, as mesmas

 

     Um desabafo e um alerta!  

A princípio, nos pareceu uma carta comum, esta que nos chega de uma colega de Recife, PE. Ela nos conta que por anos recebeu a  RPM,  utilizou algumas das sugestões em sala de aula... Era formada na Universidade e com pós-graduação em Educação Matemática. Por muitos anos foi professora em escola estadual (pelo visto, bastante dedicada, com garra, interesse, tendo recebido muitos elogios ...), como tantas outras acumulando suas funções com as de esposa, dona de casa, mãe, etc. Até que, aos 43 anos, se aposentou, esperando poder utilizar sua experiência de tantos anos para dar aulas em escolas particulares a fim de complementar o baixo salário e manter-se profissionalmente ativa. Continuou a colecionar a Revista do Professor de Matemática com essa intenção e espalhou seu currículo por diversas escolas e aguardou... Isso foi em 1991 e, até hoje, nada! Ela já está pensando em mudar de ramo, deixando para trás toda a bagagem acumulada, querendo até mesmo suspender a assinatura da Revista e deixá-la para quem esteja dando aulas.

RPM:  E pensar que tantos estão sem professores de Matemática e que outros há que lecionam sem interesse algum... Quanto à nossa colega pernambucana, que não quis procurar escolas particulares enquanto era mais moça, para se dedicar à família e ao seu aperfeiçoamento, esperamos que tenha encontrado um modo de aproveitar todo esse acervo de conhecimento e vontade de ensinar. Ao mesmo tempo, aproveitamos o seu desabafo como alerta a outras professoras que estejam ainda no meio do caminho! Nós podemos nos aposentar mais cedo porque nossa profissão é classificada como “penosa”. Quando é que nossos legisladores vão compreender que não é nossa profissão que é penosa, mas nossos salários é que o são?