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Um leitor de Maranguape, CE, nos escreve:
A soma dos termos da PG infinita
Como pode uma PG de infinitos termos positivos ter uma soma negativa? RPM: Trata-se de uma aplicação errônea da fórmula da soma dos termos de uma PG infinita.
A PG apresentada pelo leitor tem razão
RPM:
O cálculo de potências
complexas é feito através do uso do logaritmo complexo: dado
Então, dados
sendo
Concluímos então que
RPM: Apresentaremos duas soluções desse problema. A primeira, usando a lei dos cossenos, é a que mais facilmente nos ocorre ao ler o enunciado do problema. A segunda é mais sofisticada, mas tem uma idéia geométrica extremamente elegante e de fácil compreensão.
1a solução
Aplicando-se a lei dos cossenos no
Aplicando-se no
Dessa relação vem que
2a solução Observando a figura a seguir vamos acompanhar os seguintes movimentos:
·
Giramos o
·
Giramos o
·
Giramos o
Vamos então aos cálculos. A área de um triângulo de lados 6, 7 e 8 calculada pela fórmula de Heron é
As áreas dos triângulos equiláteros de
lados 6, 7 e 8 são, respectivamente, iguais a
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é dada por 
. 
e, portanto, a fórmula da soma dos termos não se aplica.
Na realidade, a série dada é divergente, com soma infinita. 
Dois leitores, um de Goiânia, GO, e
outro de Macaé, RJ, nos pedem o valor de
, onde
é a unidade imaginária
.
C , 
, Log z é uma expressão multivalente dada por
, onde log é a função logaritmo real na base e e
é a medida em radianos, no intervalo
, do ângulo que o vetor Oz forma com o eixo das
abcissas (para um interessante artigo sobre logaritmo complexo veja a
C, 
, definimos 
, 
para todo complexo
com 
Z. 
, 
e 
. 
obtemos 
, onde
. (1) 
o triângulo equilátero de lado 6 construído na
posição indicada na figura ao lado. Como
, segue, por LAL, que
de modo que
e
. 
a lei dos cossenos, em relação ao ângulo
, temos
, ou seja, 
ou, ainda,
e, portanto,
. 
de 
, no sentido horário com, centro em C, obtendo o
.
de 
, no sentido horário, com centro em A, obtendo o
.
de 
, no sentido horário, com centro em B, obtendo o
.
. 
. Por outro lado, a área do hexágono é igual à soma das
áreas de três triângulos equiláteros, um com lado 8, outro com lado 7 e
outro com lado 6, com outros três triângulos congruentes de lados 6, 7
e 8. 
, 
Você é capaz de elaborar problemas semelhantes?