Mário Dalcin
Montevidéu, Uruguai

Quando pequeno, li sobre Heron de Alexandria em uma enciclopédia biográfica que havia em casa. Fiquei sabendo que ele viveu no século II d.C. na cidade de Alexandria (obviamente), que foi engenheiro e matemático. Não me lembro que outras coisas mais havia sobre Heron, mas ficou gravada em minha memória a fórmula que lá estava para calcular a área de um triângulo:

,

sendo  p  a metade do perímetro do triângulo.

O que me encantou nessa fórmula? Não sei. Talvez por ter uma raiz quadrada, que naqueles dias escolares lhe dava um ar de Matemática superior; ou pelo fato de só usar os lados do triângulo, e não a altura, como na formulinha usada na escola.

Anos mais tarde, após ter encontrado várias vezes a fórmula e até depois de ter visto sua demonstração como mero corolário de um cálculo de medianas, continuava intrigado: como Heron a havia demonstrado?

Este ano, após ler a resenha publicada em Livros da RPM 31, comprei o livro Introdução à História da Matemática, de Howard Eves, e qual não foi minha surpresa ao encontrar na página 205 a menção de que , a demonstração feita por Heron (que está em seu livro A métrica) estava esquematizada no exercício 6.11 d). Com algumas pequenas modificações aqui vai ela:

1.       área área área área

2.    Como    e    temos

  e 

3.     Seja  J  o ponto da semi-reta  AB  tal que  BJ = CE.

 Então

    e

4.

i)    Seja  K  o ponto construído como indicado na figura. O quadrilátero  AKBI  é inscritível numa circunferência de diâmetro  AK;  logo  e, como  temos   de onde   

Então temos ,  o que implica 

ii)  No triângulo retângulo  temos    e de    (verifique) temos 

iii) De i) e ii)  temos  , o que implica   ou  ,  que juntamente com    leva a  .

Usando-se as igualdades apresentadas em  3,  obtemos

que, pela igualdade exibida em  1, demonstra a fórmula.