Talvez muitos não saibam que Malba Tahan, autor do encantador livro O homem que calculava, foi o professor de Matemática brasileiro chamado Júlio César de Mello e Souza (1895-1974). Além de autor de mais de cem livros de Literatura Oriental, Didática e Matemática, foi um mestre na arte de contar histórias. Neste artigo farei referência a uma delas.

Trata-se do problema dos mil dinares, apresentado em seu livro Novas Lendas Orientais (Editora Record, 1990). A Beremis, protagonista de O homem que calculava, apresentou-se o seguinte desafio aritmético:

Determinar como 1000 moedas de 1 dinar foram distribuídas em 10 caixas do mesmo tamanho, numeradas e fechadas, de maneira que:

a)   A numeração das caixas, de 1 até 10, foi feita em ordem estritamente crescente, relativa ao conteúdo de moedas que cada uma encerra.

b)   É possível fazer qualquer pagamento, de 1 a 1000 dinares, sem precisar abrir as caixas.

Depois de pensar um pouco, Beremis apresentou a seguinte solução:

A primeira caixa deve conter uma moeda, pois caso contrário não poderíamos fazer um pagamento de um dinar. A segunda caixa deve conter duas moedas pois, se tivesse três, quatro ou mais dinares, não seria possível fazer um pagamento de dois dinares.

A caixa número 3 deve ter quatro moedas, pois o conteúdo das duas primeiras caixas já permite fazer pagamentos de 1, 2 e 3 dinares. Beremis continua o seu raciocínio até estabelecer a seguinte distribuição das moedas nas caixas numeradas de 1 a 9.

Caixa e Moedas

Quanto à décima caixa, conclui que deve conter

Uma justificativa da solução de Beremis pode ser fornecida utilizando-se a notação binária (base 2) para representar os números.

Por exemplo, para fazer um pagamento de  352  (notação decimal) dinares observamos que:

Logo, na  base 2,  o número  352  se escreve  101100000,  o que significa que escolhemos as caixas de números  9,  7  e  6.

Visto que  511 é  111111111  em notação binária, para fazer um pagamento dessa quantia escolhemos todas as caixas, da primeira até a nona.

Para cancelar uma dívida de x dinares, com  ,  escolhemos a caixa número  10  e, para o resto,  ,  tomamos uma ou mais caixas dentre as nove primeiras.

Como curiosidade, observamos que uma dívida estritamente compreendida entre  490  e  512  dinares pode ser paga de duas maneiras, usando ou não a décima caixa. Por exemplo, uma soma de  500  dinares pode ser obtida com as caixas de números 10, 4, 2 e 1, pois