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Roberto Ribeiro Paterlini
Os
problemas de máximos e mínimos constituem um dos tópicos mais
interessantes da Matemática do ensino médio. Os professores ensinam aos
estudantes alguma técnica para encontrar o ponto extremo de funções
quadráticas e depois apresentam os mais diversos problemas envolvendo
tais conceitos. Por exemplo: Um
sitiante dispõe de uma tela de arame com 100
m de comprimento, com a qual deseja
fazer um cercado retangular. Quais devem ser as dimensões do cercado para
que sua área seja máxima? Para
a solução, se x
é um dos lados do cercado, o outro é
Uma
das maneiras mais utilizadas para o cálculo do ponto extremo de uma função
quadrática
Esse
método é muito bom para treinar os estudantes em manipulações algébricas
com polinômios. Mas existem outros procedimentos, de sabor mais geométrico,
que apresentamos aqui. Também
mostramos que esses procedimentos podem ser utilizados em problemas nos
quais é preciso encontrar pontos extremos de outros tipos de funções.
No
problema anterior, as raízes de
Vemos
nesse exemplo que a forma da função
No
caso de funções quadráticas, podemos usar essa observação conforme
exemplificamos a seguir. Consideremos
a função
Em
geral, dada uma função
Um
valor y
está na imagem de uma função quadrática
De
qualquer forma a ordenada do ponto extremo é Uma
empresa vendia mensalmente 200
unidades
de um produto a R$ 80,00 cada. Observou-se que, para cada real de desconto no preço de uma peça,
eram vendidas 10
peças a mais. Calcule o
maior faturamento possível. Se x é
o desconto, o faturamento é
Como
o coeficiente de
do
que resulta
O
método desenvolvido acima pode se aplicar a funções de outros tipos,
por exemplo funções racionais de grau 2 ou funções polinomiais de grau
3. A aplicação do método depende da possibilidade de se resolver a equação
Exemplo
1. Um
paciente ingere um remédio no instante t
= 0
. A concentração do remédio no sangue do paciente no instante
t pode ser representada pela função
C(t) = 20t / (t2
+ 4)
para
. Calcule o instante em que a concentração é máxima. Um
valor y
está na imagem de C
se a equação
Exemplo
2. Dentre
os retângulos de área dada A, determinar o que tem menor perímetro.
Um
valor y
está na imagem de P
se existir solução para a equação Para
determinar o retângulo de menor perímetro, resolvemos a equação
Referências BibliográficasSarna,
A. Max and Min Problems Using the
Discriminant. The Mathematics Teacher, vol. 89, no
7, outubro de 1996. |