Roberto Ribeiro Paterlini
Departamento de Matemática da UFSCar

     Introdução

Os problemas de máximos e mínimos constituem um dos tópicos mais interessantes da Matemática do ensino médio. Os professores ensinam aos estudantes alguma técnica para encontrar o ponto extremo de funções quadráticas e depois apresentam os mais diversos problemas envolvendo tais conceitos. Por exemplo:

Um sitiante dispõe de uma tela de arame com 100 m de comprimento, com a qual deseja fazer um cercado retangular. Quais devem ser as dimensões do cercado para que sua área seja máxima?

Para a solução, se  x  é um dos lados do cercado, o outro é  , já que o perímetro precisa ser igual a 100. Então a área é  , e para terminar o problema é necessário encontrar a abcissa do ponto máximo da função quadrática  A.

Uma das maneiras mais utilizadas para o cálculo do ponto extremo de uma função quadrática    é a aplicação da fórmula  ,  onde    é o discriminante da função. Percebi que a grande maioria dos estudantes egressos do ensino médio utiliza esse método. É também o método preferido dos livros-textos, nos quais a fórmula do ponto extremo aparece como uma conseqüência do completamento do quadrado.

Esse método é muito bom para treinar os estudantes em manipulações algébricas com polinômios. Mas existem outros procedimentos, de sabor mais geométrico, que apresentamos aqui.

Também mostramos que esses procedimentos podem ser utilizados em problemas nos quais é preciso encontrar pontos extremos de outros tipos de funções.  
 

     Procedimento para encontrar o ponto extremo

O gráfico de uma função quadrática é simétrico em relação ao eixo vertical que passa pelo seu ponto extremo. Portanto, se  f  tem raízes reais    e  ,  a abcissa do ponto extremo é dada pelo ponto médio  . Se  ,  a abcissa é  .

No problema anterior, as raízes de    são 0 e 50, cujo ponto médio é 25. Como o gráfico de    é côncavo para baixo, o ponto extremo é ponto de máximo, e sua abcissa é então . Concluímos que o cercado deve ser um quadrado de lado 25.

Vemos nesse exemplo que a forma da função    facilita bastante o cálculo de  . Mas esse não é um caso tão particular, conforme será mostrado a seguir. Vamos atentar inicialmente para a seguinte observação:

Sabemos que, dada uma função  f,  o gráfico da função  , onde  c  é uma constante, é um deslocamento vertical do gráfico de  f. Em particular, as abcissas dos pontos de máximo ou de mínimo de  f  e  de    são as mesmas.

No caso de funções quadráticas, podemos usar essa observação conforme exemplificamos a seguir.

Consideremos a função . Para calcular   tomamos a função  , obtida de  f  pela eliminação do termo constante. Temos  , cujas raízes são dadas por    e  ,  ou  . A média das raízes  0  e  1400  é  700, que é a abcissa do ponto extremo    de  g. Aplicando essa observação,  700 é também a abcissa do ponto extremo de  f, no caso um ponto de mínimo.

Em geral, dada uma função  , com  , consideramos a função  ,  cujas raízes são  0  e  . O ponto médio das raízes é  ,  que é abcissa do ponto extremo de  f. Voltamos assim à fórmula já conhecida, mas por um caminho diferente.

 

     Outro procedimento para encontrar o ponto extremo

Outra técnica alternativa para o cálculo do ponto extremo de funções quadráticas leva em conta a observação de que a imagem dessas funções é sempre da forma

Um valor  y  está na imagem de uma função quadrática    quando a equação    tem solução para   IR.  Isso ocorre quando o discriminante    dessa equação for   ou quando:

De qualquer forma a ordenada do ponto extremo é   ,  conforme já sabemos. Segue um exemplo.

Uma empresa vendia mensalmente  200  unidades de um produto a R$ 80,00 cada. Observou-se que, para cada real de desconto no preço de uma peça, eram vendidas  10  peças a mais. Calcule o maior faturamento possível.

Se  x  é o desconto, o faturamento é

Como o coeficiente de  é negativo, sabemos que  F  tem valor máximo. Para calculá-lo resolvemos a equação

,

do que resulta  . Esse é o faturamento  máximo.

 

     Extremos de funções racionais de grau 2

O método desenvolvido acima pode se aplicar a funções de outros tipos, por exemplo funções racionais de grau 2 ou funções polinomiais de grau 3. A aplicação do método depende da possibilidade de se resolver a equação    em  x.  Dessa forma, alguns problemas que são tradicionalmente abordados nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável podem ser estudados com o uso de ferramentas mais simples. Seguem dois exemplos significativos.

Exemplo 1.

Um paciente ingere um remédio no instante t = 0 . A concentração do remédio no sangue do paciente no instante  t pode ser representada pela função  C(t) = 20t / (t2 + 4)   para  . Calcule o instante em que a concentração é máxima.

Um valor  y  está na imagem de  C  se a equação    tiver solução para  . Essa equação equivale a  , e temos que a solução existe quando    ou  .  Observando que    se e somente se  , vemos que a imagem de  C  para    é . Portanto o valor máximo de  C  é 5.  Para obter o instante  t  em que ocorre esse valor resolvemos, em  t,  a equação  ,  do que resulta  . Assim, a concentração é máxima para  .

  Vemos na figura ao lado o gráfico de  ,   IR.. A imagem de     é o intervalo fechado ,  e    e  5  são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de    para   IR.

Exemplo 2.

Dentre os retângulos de área dada A, determinar o que tem menor perímetro.

 

Se  a  e  b  são as dimensões do retângulo, temos  . O perímetro é então

.
Devemos considerar a função

,

e determinar o ponto  x  em que  P  tem seu valor mínimo.

Um valor  y  está na imagem de  P  se existir solução para a equação  . Essa equação equivale a  ,  que tem solução se  ,  ou se    ou  . Considerando que    para  , a imagem de  P  é . Assim sendo,    é o menor valor de  P.

Para determinar o retângulo de menor perímetro, resolvemos a equação    em  a, do que resulta  . Então  , e o retângulo deve ser um quadrado.

 

Referências Bibliográficas

Sarna, A. Max and Min Problems Using the Discriminant. The Mathematics Teacher, vol. 89, no 7, outubro de 1996.