Carlos Alberto da Silva Victor
Rio de Janeiro, RJ

Nosso objetivo é encontrar uma fórmula simples para calcular a área de um polígono de vértices

                               
ligados nessa ordem.

Inicialmente, vamos lembrar como se calcula a área  A  de um triângulo de vértices 

Figura 1

.

Apesar da aparência assustadora dessa expressão, podemos escrevê-la da seguinte maneira:

O sinal de H dependerá da ordem em que os pontos forem escolhidos. H será positivo se os pontos forem escolhidos no sentido anti-horário, escolha que fizemos na Figura 1, e será negativo se a escolha for feita no sentido horário.

Por exemplo, se trocarmos as posições dos pontos    e  ,  teremos 

Consideremos um polígono convexo de vértices consecutivos     ordenados no sentido anti-horário (Figura 2) e seja    um ponto qualquer no interior do polígono.

Figura 2

Dividimos o polígono em  n  triângulos, cada um deles tendo  K  como um de seus vértices. Podemos aplicar a fórmula vista anteriormente para obter a seguinte expressão para o dobro da área do polígono:

Após cancelar os termos semelhantes, obtemos:

que pode ser escrito como:

Área = .

Observe que essa expressão independe do ponto  K  escolhido como vértice comum de todos os triângulos.

Exemplo 1.

Calcule a área do polígono ABCDE de vértices

Solução: A área é

.

Pode-se mostrar, de modo semelhante, que, com uma escolha criteriosa dos triângulos, a fórmula acima também pode ser usada para calcular a área de polígonos não convexos.
 

Exemplo 2.

Considere os pontos

a)    A área do polígono não convexo  AEDBC  é 

.

b)   A área do polígono  AEDCB  é

.

__________
NR: 

(1) O autor usou o dispositivo apresentado para resolver o problema 967 da revista Parábola, vol. 32, n^o 1, editada pela Universidade New South Wales, Austrália. O editor da revista, ao receber a solução, pediu esclarecimentos. Isso deu origem a um trabalho publicado em inglês, na revista Parábola. O presente artigo é uma tradução adaptada para a RPM.

(2)  O dispositivo apresentado neste artigo bem como alguns exercícios podem ser encontrados nos livros: Coordenadas no plano, Elon Lages Lima. Rio de Janeiro, Impa, 1992, págs. 115 e 129,  e  Problemas e soluções (referentes ao livro anterior) págs. 73 e 74.