Ocasionalmente recebemos determinados problemas que fazem parte do chamado “folclore” da Matemática. São questões que em geral apresentam pequenos desafios envolvendo situações do cotidiano: idades e datas de nascimento, taxas de juros, distâncias e velocidades, etc. Em resposta a alguns leitores selecionamos dois de tais problemas.

    Paulo viaja por uma estrada com velocidade constante. Num determinado instante passa por um marco que contém 2 algarismos. Uma hora depois passa por outro marco que contém os mesmos 2 algarismos, mas em ordem invertida. Uma hora depois passa por um terceiro marco que contém os mesmos 2 algarismos, separados por um zero. Com qual velocidade Paulo viaja?

RPM:  Suponha que o primeiro marco indica  ab, que corresponde a  10a + b quilômetros. O segundo marco registra, portanto,  ab ,  que corresponde a  10b + a  quilômetros. No terceiro marco uma das letras  a  ou  b  representará o algarismo das centenas. Assim o número de quilômetros poderá ser escrito como  100a + b ou  100b + a . Sendo a velocidade constante, a distância percorrida entre o segundo e o terceiro marcos é igual à percorrida entre o primeiro e o segundo. Essa última é inferior a  100  e, portanto, o algarismo das centenas no terceiro marco é  1. Como  b  não pode ser igual a  1 (por quê?), segue que a  é  igual a  1. Logo, escrevendo a equação:

n^o do 2^o marco – n^o do 1^o marco = n^o do 3^o marco – n^o do 2^o marco  ou

Concluímos que os marcos contêm os números  16,  61,  106  e a velocidade é de 45 km/hora.
 

    Todos os convidados de uma festa trocaram apertos de mãos. Um mordomo mais atento notou que foram  528  cumprimentos e que  2/3 dos convidados eram mulheres. Quantos homem foram convidados?

RPM: Vamos indicar por  o número total de convidados. Cada pessoa dá    apertos de mãos, porém, quando  A  cumprimenta  B,  B  também cumprimenta  A. Logo, o

Resolvendo a equação do 2^o grau  ,  obtemos    ou  . Como  x  é positivo, temos  . Concluímos que  11  homens  (   dos convidados) e  22  mulheres foram convidados para a festa.

Um leitor de Marília, SP, nos envia o seguinte problema: No    abaixo,  BD  e  CE  são alturas. Sabendo-se que  ,  qual o valor de  DE?

RPM: Vamos resolver o problema sem considerar os dados numéricos fornecidos pelo leitor. Se  H  é o ponto onde  BD   intersecta  CE   (H é o ortocentro do    que vamos supor interior ao triângulo) temos que  A, D, H, E  são pontos pertencentes a uma circunferência de diâmetro  ,  uma vez que 

Pelo teorema do ângulo inscrito   .

Por outro lado, traçando-se a altura  ,  verifica-se facilmente que  .

Logo,  ,  de modo que  . (Verifique que essa semelhança é verdadeira mesmo no caso em que H é exterior ao triângulo.)

Observamos que, com os valores numéricos dados pelo leitor, o    tem hipotenusa  12  menor que o cateto  CE = , o que é impossível. Chamamos a atenção do leitor para a necessidade de cuidado na atribuição de dados numéricos que podem ser incompatíveis com a geometria envolvida.
 

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NR: Sobre o  Leitor Pergunta  da RPM 34.

1) Diversos leitores apresentaram à  RPM  a seguinte solução do problema de determinar o resto da divisão de    por  .

Se em  fazemos , obtemos: . Logo,  , portanto o resto é igual  a  .

Observamos que essa solução usa o fato de que a igualdade entre dois polinômios reais, no caso  ,  continua válida quando atribuímos a  x  valores complexos (tanto em IR. como em  C  a igualdade entre dois polinômios é dada pela igualdade entre seus coeficientes).

2) No terceiro problema, do cálculo da área, chamamos a atenção para o fato de que os ângulos foram medidos em radianos.