Muitos foram os elogios feitos a essa competição, realizada em Mar del Plata, Argentina, entre os dias 18 e 29 de julho p.p., a começar pela excelente organização, reconhecida explicitamente por todos os participantes e que se manifestou desde o início com a impecável recepção aos participantes já nos aeroportos.

     Dessa vez, os professores líderes tiveram um tempo razoável para entrar em contato com o banco de questões, dentre as quais seis seriam propostas na prova oficial. O banco, segundo testemunho do professor Edmilson Motta, líder da nossa equipe, foi considerado o melhor feito até agora, pois o comitê de seleção para esse conjunto foi constituído dos melhores especialistas do mundo no assunto. Em olimpíadas anteriores, chegava a ser angustiante receber 30 problemas, em geral difíceis, e ter que selecionar os mais adequados, originais, consistentes, etc., no prazo de um ou meio dia.

   Os líderes, reunidos, constituem o chamado júri. As reuniões do júri para compor a prova deram-se nos dias 20, 21 e 22 de julho. As questões são escolhidas por votação, com alguns membros do júri fazendo discursos defendendo a inclusão ou a exclusão de algumas delas. Os motivos das discussões são os mais variados, sendo as maiores preocupações a originalidade das questões propostas e o sigilo a respeito delas. Composta a prova, de 6 questões, 3 para o primeiro dia e 3 para o segundo, passa-se ao trabalho de redação das questões nas mais diversas e exóticas línguas. Esse trabalho é feito pelos professores líderes de cada país. As línguas oficiais nas reuniões do júri são o inglês, o russo, o alemão, o francês e o espanhol, mas os estudantes recebem as questões escritas em sua língua. No dia 22 ficaram expostas a todos os membros do júri as versões em todas as línguas, para que ficasse assegurada a uniformidade da prova e a retidão dos enunciados.

Terminada a elaboração da prova, foi feita, como de costume, a reunião do IMOAB (International Mathematical Olympiad Advisory Board), na qual se discutiram questões concernentes ao regulamento da Olimpíada, além da apresentação de candidaturas de alguns países para sediar o evento nos anos 2003, 2004 e 2005. Já está programado que em 1998 a Olimpíada será em Taiwan e já estão definidos os países que irão sediar a OIM até o ano 2002.

O dia 23 foi reservado para o início oficial das atividades e pela primeira vez foi cantado o hino da OIM. As provas foram realizadas nos dias  24  e 25  com as 3 questões de cada dia devendo ser resolvidas em 4 horas. A correção das provas, feita nos dias 26, 27 e 28, inclui o exame meticuloso de cada resolução  de 3 ou 4 professores. Tornou-se tradição ir colocando as notas atribuídas em um mural especialmente preparado para isso, transformado no local mais visitado por alunos e professores, que ficam torcendo (e às vezes brigando) por seus times.

Neste ano os países mais bem colocados foram China, Hungria, Irã, EUA, Rússia e Romênia. Vocês poderiam estar perguntando: E o Brasil? O Brasil foi muito bem. Tivemos uma medalha de prata, quatro de bronze e uma menção honrosa. Depois dos EUA fomos o país mais bem classificado nas Américas.

medalha de prata: Rui Lopes Viana.

medalhas de bronze: Murali S. Vajapeyam, Emanuel Carneiro, André Arroyo Ruiz e Frederico Girão.

menção honrosa: Marcelo Cruz.

Publicamos, a seguir, um dos problemas propostos nessa 38^a OIM. A resolução vem em seguida. Embora tivesse sido um dos problemas mais difíceis da prova, um dos estudantes brasileiros resolveu-o integralmente.

Questão 03.  Sejam    números reais que verificam as condições:

Demonstre que existe uma reordenação (permutação)   de    tal

Solução:

Seja   uma permutação de  . Denotamos por  o valor da  
permutação .

Começando de    é possível obter qualquer permutação através de sucessivas transposições de elementos vizinhos.

Em particular, existe uma cadeia de permutações    tal que    e, para cada  ,  a permutação    pode ser obtida de    trocando de posição dois de seus vizinhos. Em outras palavras, se    e  ,  então existe um índice    tal que 

E como os números  não excedem r em valor absoluto, temos

.

Isso mostra que a distância entre dois números que aparecem sucessivamente na seqüência    é menor ou igual a  .

Em agosto, foram realizadas as provas da VIII Olimpíada de Matemática de Natal. O seu coordenador, Prof. Benedito T. Vasconcelos Freire, enviou-nos cópia das questões. Julgamos as provas de muito bom nível, com questões bastante interessantes. Não as publicamos integralmente por falta de espaço, mas apresentamos algumas delas para que o nosso leitor tenha uma idéia das provas.

Questões da prova do primeiro grau

1^a Etapa  (15 questões de múltipla escolha)

05) Um homem que nasceu no século dezoito tinha  x  anos de idade no ano  x². Qual era a sua  idade em 1776?

11) Oito times disputam a inclusão no quadrangular final de um campeonato de futebol. Sabe-se que cada par de times joga uma só vez entre si e que, em caso de vitória, o time ganha dois pontos; no caso de empate ganha um ponto e, na derrota, não ganha ponto. Qual é o número mínimo de pontos que um time deve alcançar para garantir a passagem para o quadrangular final?

12) Thiago chega todo dia a Natal às 17 horas, e sua mulher, que dirige com velocidade constante, chega todo dia às 17 horas à rodoviária para apanhá-lo e levá-lo para casa. Num determinado dia, Thiago chega às 16 horas e resolve ir andando para casa, percorrendo o mesmo caminho que fazia sua mulher quando vinha apanhá-lo, só que em sentido contrário. Encontra sua mulher no caminho e imediatamente volta para casa de carro com ela, fazendo o percurso habitual, chegando 10 minutos mais cedo do que de costume. Quanto tempo Thiago andou a pé?

2^a Etapa  (3 problemas)

Problema 1

Vivian espalhou  51  caroços de feijão dentro de um quadrado de lado medindo 1 metro e observou que algum conjunto de  3  caroços estava inteiramente contido num quadradinho de lado 20 cm. Foi coincidência ou sempre isso acontece, independentemente da maneira como Vivian espalha os caroços? Explique.

Questões da prova do segundo grau

1^a Etapa  (16 questões de múltipla escolha)

8)   Um certo polinômio    quando dividido por    deixa restos  a,  b  e  c, respectivamente. Qual é o resto da divisão de    por  ?

(NOTA: os números  a,  b  e  c  são distintos.)

9)   Em cada quadrado de um tabuleiro    se pode colocar uma ficha. Dizemos que uma ficha vê a outra se ambas estão na mesma fila ou na mesma coluna e, se existem quadrados intermediários entre elas nessa fila ou coluna, esses quadrados estão sem fichas (vazios).

Qual é o número máximo de fichas que se pode colocar de maneira tal que cada ficha veja exatamente duas fichas?

11) Qual é o menor número natural que é soma de 9 números naturais consecutivos, é soma de 10 números naturais consecutivos e é soma de 11 números naturais consecutivos?

2^a Etapa  (3 problemas)

Problema 1

De quaisquer  1996  segmentos de comprimentos distintos dados, podemos sempre escolher  3  segmentos que podem ser usados para formar um triângulo? Explique.