Flávio Wagner Rodrigues IME–USP   Soluções e Sugestões RPM – Problemas Caixa Postal 66281 05315-970 São Paulo, SP          Problemas 150.  Sejam x e y inteiros positivos tais que  xy + x + y = 71  e  x2y + xy2 = 880 .  Determine  x2+y2 . (Olimpíadas Argentinas.) 151.  Numa circunferência de raio  R  fixe dois pontos  B  e  C. Mostre que o lugar geométrico dos baricentros dos triângulos  ABC,  onde  A  é um ponto qualquer  dessa circunferência, é uma outra circunferência de raio  R/3   que corta  BC  em três segmentos congruentes. (Enviado por Cláudio Arconcher, Jundiaí, SP.) 152. Construir, com régua e compasso, um triângulo  ABC, conhecendo o ângulo Â,  o perímetro e um ponto  P  do lado  BC. (Sugerido por Fabiano G. B. Brito, São Paulo, SP.) 153.  Exprimir o número 1997 como uma soma de parcelas positivas, de modo tal que o produto dessas parcelas seja o maior possível. (Sugerido por A. C. Morgado, Rio de Janeiro, RJ.)        ... e probleminhas   1)   Uma pessoa fez 69 anos em 96 (1996), 58 anos em 85, 47 anos em 74, etc. Uma outra pessoa fez 79 anos em 97, 68 anos em 86, 57 anos em 75, etc. É claro que essa coincidência não acontece com todas as pessoas. Qual é a condição para que isso ocorra?                         (Tirado de El Acertijo, 25.)  2)    Se gato e meio come rato e meio em minuto e meio, em quanto tempo um gato come dois ratos? (Enviado por Valdinéia B. Nascimento - Campina Grande, PB.) 3)    Coloque parênteses para que a expressão  5 2 x 1 + 4 6 = 5   se torne verdadeira. (Enviado por Reinaldo Arakaki -  São José dos Campos, SP.) (Ver respostas na seção "Livros")        Soluções dos problemas propostos na RPM 33   142. Mostre que quaisquer que sejam os  números  inteiros  a, b, c, d, e, a equação não pode ter todas as raízes reais. Solução: Sejam  r1, r2, . . . , r7   as  7  raízes da equação. Temos então: r1, r2, . . . , r7 = 2 r1r2, r1r3, . . . , r6r7 = 3 raízes podem ser reais. (Adaptado das soluções enviadas por vários leitores.) 143.    Seja um número natural e  k  inteiro.              Solução: Para cada natural    denotemos por   o maior número inteiro k  tal que  2k divide n. Por exemplo,  Se n é ímpar,  .  É fácil mostrar Para isso vamos observar que:       e portanto:    . Portanto:   a)    Para    .   e .   é divisível por  . (Adaptado da solução enviada por João Linneu A. Prado, Jaú, SP.)   144.    Na figura,  o ADE  tem o mesmo perímetro e a mesma área do quadrilátero  BCDE.  Determine os lados do ADE dados:   cm,  cm e  cm. Solução: Sendo  p  o semiperímetro do ,  temos que a área    do    é dada por  . Como os perímetros do  e do quadrilátero  CDEB  são iguais, temos  .    (1) Por  (1)  e  (2):   e  . Aplicando a lei dos cossenos no    vem: (Solução enviada por diversos leitores.)   145. Considere um quadrilátero ABCD  inscrito numa circunferência e I o ponto de intersecção das diagonais  AC e BD. Traçando por I  perpendiculares aos lados AB, BC,  CD e DA, obtemos os pontos M, N, P e Q, respectivamente. Prove que  I  é o centro da circunferência inscrita no quadrilátero  MNPQ. Solução: Como  ,  então  . Logo o quadrilátero  INCP é inscritível. Do mesmo modo,  IPDQ,  IQAM  e  IMBN são inscritíveis. Considerando arcos nas diferentes circunferências nas quais cada um desses quadriláteros se inscreve, temos para o ângulo  da figura: .  Então,  Como por construção temos  ,  ,    e  ,  segue que:   donde, respectivamente,  Logo  MNPQ  é circunscritível à circunferência de centro  I  e raio  IF. (Solução enviada por diversos leitores.)