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148.
Prove
que, dado um conjunto com n
elementos, é possível fazer uma fila com seus subconjuntos de tal
modo que cada subconjunto da fila pode ser obtido a partir do anterior
pelo acréscimo ou pela supressão de um único elemento.
(Do livro A
Matemática do ensino médio, v.1, Lima, E.L. e outros. Rio de
Janeiro: SBM, 1996.) 149. (a) Existe alguma progressão geométrica que admite
8, 12
e 27 como termos? (b)
Mostre que não existe nenhuma progressão geométrica que admita
1, 2 e 5
como termos.
(Do
livro Progressões e Matemática
Financeira, Morgado, A. e outros. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1993.)
1) A cada
dois anos no período entre 1858
e 1864 nasceu um compositor
famoso. Claude Debussy nasceu na França, Gustav Mahler nasceu na Áustria,
Giacomo Puccini nasceu na Itália e Richard Strauss na Alemanha. Debussy não
era o mais velho. Puccini era dois anos mais velho que Mahler. Strauss era
mais novo que Debussy. Descubra o ano no qual nasceu cada compositor.
(Tirado do livro
Trivia Math.: A Problem a Day,
v. 2, Carole Greenes & George Immerzeel. Criative Publications.) 2) Adicione um só símbolo para que a igualdade abaixo
fique verdadeira. ( 7l + l )( 7l – l ) = 7l
(Tirado
de El Acertijo, 25. Buenos
Aires, Argentina.) 3)
As idades de Alice e Bernardo juntas perfazem um total de 11 016 dias.
Qual a idade de Alice, em dias, sabendo que daqui a 1296 dias Bernardo terá
o dobro da idade que Alice tinha quando Bernardo tinha o dobro da idade
que Alice tinha quando esta tinha o dobro da idade de Bernardo? (Enviado por Marcos Keller, RJ.) (Ver respostas na seção "Cartas do Leitor")
138. Considere,
num plano, uma infinidade de pontos. Sabendo-se que a distância entre
dois pontos quaisquer é um número inteiro, mostre que eles são
colineares. Solução:
Seja S
o conjunto dado. Suponhamos que seus pontos não são colineares.
Sejam A
e B dois deles. Dado
Considere
Como a
intersecção dos dois feixes de hipérboles é um conjunto finito (a
intersecção de duas hipérboles é obtida resolvendo uma equação do 2o
grau), então S seria um conjunto finito. Contradição. Logo os pontos de
S são
colineares. Obs:
1) É
possível construir conjuntos de pontos não colineares com qualquer
quantidade
2)
Segundo o leitor Cláudio Arconcher,
o problema originalmente é do eminente matemático húngaro Paul
Erdös.
(Solução
enviada por Ernesto Rosa Neto e
Cláudio Arconcher, SP.) 139.
Dados
dois espelhos planos paralelos, considere dois pontos A
e B entre eles. Determine a
trajetória que deve percorrer um raio de luz partindo de A
para atingir o ponto B após ter
sido refletido 3 vezes num espelho e 2 vezes no outro. Admite-se que o ângulo
de incidência seja igual ao de reflexão. Solução:
Construímos
A1
simétrico de A
com respeito ao espelho E1, A
trajetória do raio de luz é a poligonal
(Solução adaptada de soluções enviadas por
diversos leitores.)
140.
Seja
X
um conjunto e seja
f: X Solução: a)
Seja
Seja
A
um subconjunto de X,
não vazio e estável com relação a f.
Então existe
b)
Suponha que existe uma função
f
de X
em X
cujos únicos conjuntos estáveis sejam
X e
A é estável com relação a
f
e como é não vazio segue-se que
(Solução enviada por Jesus A. Pérez Sánchez, Mérida,
Venezuela.) 141.
a) Dada uma equação do segundo grau, com coeficientes inteiros, mostre
que o seu discriminante não pode ser igual a 23. b)
Para quantos valores reais do número
a a equação
Solução: a) Seja
b) 1) É claro que a
deve ser inteiro, uma vez que a soma das raízes é
-a. 2)
Suponha
Se
n
é diferente de zero, n e 12
podem ser pensados como os catetos de um triângulo retângulo cuja
hipotenusa é
Se acrescentarmos os valores correspondentes a
n = 0
, teremos exatamente dez
valores de a que satisfazem as
condições do problema. (Adaptado da solução enviada por Hilda
da Silva Pinhão, São Paulo, SP.)
Nota:
Na RPM 33 deixamos de publicar o nome do leitor José Gutembergue L. Rodrigues, DF, como tendo acertado os problemas
134 e 135; o problema 144 foi enviado pelo leitor Cristovom Araujo Girodo e
não Cristovam como publicamos; a
ambos nossas sinceras desculpas.
(El Acertijo, número 22)
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