Flávio Wagner Rodrigues
IME–USP

Soluções e Sugestões
RPM – Problemas
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      Problemas

146. Na figura,  ABC  é um triângulo retângulo e  BCFG  e  ACDE  são quadrados. Sabendo-se que a área do triângulo  ABI  é  24 cm2, calcular a área do quadrilátero  CHIJ.

147. Dada uma mesa de bilhar circular e uma bola colocada num ponto  A  da mesa, em que direção deve-se lançar a bola para que ela passe pelo ponto  A  após duas reflexões sucessivas?  
(Olimpíadas Colombianas)

             

148. Prove que, dado um conjunto com  n  elementos, é possível fazer uma fila com seus subconjuntos de tal modo que cada subconjunto da fila pode ser obtido a partir do anterior pelo acréscimo ou pela supressão de um único elemento.

(Do livro A Matemática do ensino médio, v.1, Lima, E.L. e outros. Rio de Janeiro: SBM, 1996.)  
 

149. (a) Existe alguma progressão geométrica que admite  8,  12  e  27  como termos?

(b) Mostre que não existe nenhuma progressão geométrica que admita  1, 2 e  5  como termos.

(Do livro Progressões e Matemática Financeira, Morgado, A. e outros. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1993.)

   

     ... e probleminhas  

1) A cada dois anos no período entre  1858 e 1864  nasceu um compositor famoso. Claude Debussy nasceu na França, Gustav Mahler nasceu na Áustria, Giacomo Puccini nasceu na Itália e Richard Strauss na Alemanha. Debussy não era o mais velho. Puccini era dois anos mais velho que Mahler. Strauss era mais novo que Debussy. Descubra o ano no qual nasceu cada compositor.

(Tirado do livro  Trivia Math.: A Problem a Day, v. 2, Carole Greenes & George Immerzeel. Criative Publications.)
 

2) Adicione um só símbolo para que a igualdade abaixo fique verdadeira.

( 7l + l )( 7l – l ) = 7l

(Tirado de El Acertijo, 25. Buenos Aires, Argentina.)
 

3) As idades de Alice e Bernardo juntas perfazem um total de 11 016 dias. Qual a idade de Alice, em dias, sabendo que daqui a 1296 dias Bernardo terá o dobro da idade que Alice tinha quando Bernardo tinha o dobro da idade que Alice tinha quando esta tinha o dobro da idade de Bernardo?

(Enviado por  Marcos Keller,  RJ.)   

(Ver respostas na seção "Cartas do Leitor")

 

     Soluções dos problemas propostos na RPM 32  

138. Considere, num plano, uma infinidade de pontos. Sabendo-se que a distância entre dois pontos quaisquer é um número inteiro, mostre que eles são colineares.

Solução:

Seja  S  o conjunto dado. Suponhamos que seus pontos não são colineares. Sejam A  e  B  dois deles. Dado  ,  temos    com , logo  P  pertence a uma das    hipérboles de focos  A  e  B  dadas por    com  ,  . Observamos que, para     e para   (casos nos quais o ponto  P  pertence à mediatriz de  AB  ou à reta  AB), temos hipérboles degeneradas.

Considere    tal que  A, B, C  não sejam colineares. Todo ponto  pertence a um outro feixe de  hipérboles de focos  A  e  C,  onde  .

Como a intersecção dos dois feixes de hipérboles é um conjunto finito (a intersecção de duas hipérboles é obtida resolvendo uma equação do 2o grau), então  S seria um conjunto finito. Contradição. Logo os pontos de  S  são colineares.

Obs:  1) É possível construir conjuntos de pontos não colineares com qualquer   quantidade       de pontos com distâncias inteiras.

2) Segundo o leitor Cláudio Arconcher, o problema originalmente é do eminente matemático húngaro Paul Erdös.

(Solução enviada por Ernesto Rosa Neto  e  Cláudio Arconcher, SP.)
 

139. Dados dois espelhos planos paralelos, considere dois pontos A e B entre eles. Determine a trajetória que deve percorrer um raio de luz partindo de A para atingir o ponto B após ter sido refletido 3 vezes num espelho e 2 vezes no outro. Admite-se que o ângulo de incidência seja igual ao de reflexão.

Solução:

Construímos   A1  simétrico de  A  com respeito ao espelho E1,
A2  simétrico de  A1  com respeito ao espelho E2,
A3  simétrico de  A2  com respeito ao espelho E1,
A4  simétrico de  A3  com respeito ao espelho E2,,
A5  simétrico de  A4  com respeito ao espelho E1.

A trajetória do raio de luz é a poligonal    onde

,  ,  ,  ,  .

conhecendo-se   a,  b,  e  d.

(Solução adaptada de soluções enviadas por diversos leitores.)

 

140. Seja  X  um conjunto e seja  f: X X   uma função. Um subconjunto Y X   chama-se estável relativamente a  f,  quando  f (Y) Y . Prove que um conjunto  X  é finito se, e somente se, existe uma função  f: X X   que só admite os subconjuntos estáveis  X e  .

Solução:

a)    Seja    um conjunto finito. Vamos definir  f  de  X  em  X  por:

Seja  A  um subconjunto de  X,  não vazio e estável com relação a  f.  Então existe    e da definição de  f  e da hipótese de que  A  é estável segue-se que  xk A   para todo  k  tal que  .  Mas, se  ,  então  ,  o que implica que  .

b)      Suponha que existe uma função  f  de  X  em  X  cujos únicos conjuntos estáveis sejam  X  e  . Dado  ,  considere o conjunto:

.

A  é estável com relação a  f  e como é não vazio segue-se que  .  Existe então  n0  tal que:  .  Segue-se então que:

(Solução enviada por Jesus A. Pérez Sánchez,  Mérida, Venezuela.)
 

141. a) Dada uma equação do segundo grau, com coeficientes inteiros, mostre que o seu discriminante não pode ser igual a 23.

b) Para quantos valores reais do número  a  a equação    possui somente raízes inteiras?

Solução:

a)     Seja   , com  a, b  e  c  inteiros e  . Suponhamos  .  Segue-se que    é ímpar e portanto  b  é ímpar. Se  b  é ímpar,  são pares, e portanto    é múltiplo de  4. Mas    e, como  22  não é múltiplo de  4,  segue-se que    não pode ser igual a  23.

b)  1) É claro que  a  deve ser inteiro, uma vez que a soma das raízes é   -a.

2)   deve ser o quadrado de um número inteiro.

Suponha  ,  com  n  inteiro. Como , temos  . Essa equação admite a solução trivial    e, nesse caso,    ou 

Se  n  é diferente de zero,  n  e  12  podem ser pensados como os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é  . Na RPM 7, pág. 49, verificamos que existem  4  triângulos pitagóricos com um cateto igual a  12. São eles:

,  ,  ,  .

para  n = 5

a = 1   

ou

a = 25

para  n = 9

a = 3   

ou

a = 27

para  n = 16

a = 8  

ou

a = 32

para  n = 35

a = 25 

ou

a = 49

Se acrescentarmos os valores correspondentes a  n = 0 ,  teremos exatamente dez valores de  a  que satisfazem as condições do problema.

(Adaptado da solução enviada por Hilda da Silva Pinhão, São Paulo, SP.)

 

Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas 138 a 141 da RPM 32  

Antonio Matos dos Santos, GO - 141

Hilda da Silva Pinhão, SP - 139, 141

Azuma Sato, SP - 141

Jesus A. Pérez Sánchez, Venezuela - 140

Carlos A. S. Victor, RJ - 139, 140, 141

José Gutembergue, DF - 141

Claudio Arconcher, SP - 138  

José Hernandes, SP - 141

Edson Roberto Abe, SP - 139, 141

José Joaquim Pires Conde, MG - 141

Ernesto Rosa Neto, SP - 138  

Manuel João de Jesus Almeida, RJ - 140

Geraldo Perlino Jr., SP - 139  

 

 

Nota: Na RPM 33  deixamos de publicar o nome do leitor José Gutembergue L. Rodrigues, DF, como tendo acertado os problemas 134 e 135; o problema 144 foi enviado pelo leitor Cristovom Araujo Girodo e não Cristovam como publicamos; a ambos nossas sinceras desculpas.  

 

DÍVIDAS NO CIRCO

O palhaço conta ao mágico:

- Emprestei dinheiro a cinco pessoas e elas ainda não me devolveram. Uma delas é você; as outras quatro me devem em conjunto 12 reais. Não me recordo quanto me deve cada uma em separado.

- Eram quantidades inteiras de reais?

- Sim. Lembro-me também que o produto das dívidas dos outros quatro era um número igual à sua dívida. Você sabe quanto me deve?

- Sim. Mas com esses dados não posso saber quanto lhe devem os outros quatro em separado.

- Espere um momento. O que me deve menos é o domador de leões!

- Agora sim, posso saber a dívida de cada um!

Se você fosse o calculista do circo, saberia decidir quanto deve ao palhaço cada um de seus devedores?

Resp. Os outros quatro devem respectivamente 1, 3, 4 e 4 reais, e o mágico deve 48 reais.

 

(El Acertijo, número 22)