Nilza Eigenheer Bertoni
Brasília, DF

Um assunto que nem sempre é bem compreendido por nossos alunos é a passagem da escrita de um número racional, como quociente entre números inteiros, na forma de uma fração, para sua forma decimal. Perguntas como: onde colocar a vírgula?, quando se escreve  0  no quociente?, quando se passa para a casa seguinte sem colocar o 0 ? mostram que o estudante está tentando reproduzir uma técnica sem compreender o que está fazendo.

Neste artigo, fazemos e discutimos essa passagem, da notação de fração para a escrita decimal, usando também outras bases de numeração. Mais do que simples elucubração ou exercício de raciocínio, o que pretendemos é relacionar, comparar e fazer analogias com o objetivo de levar a uma compreensão mais sólida dos fatos matemáticos que justificam a técnica usada.

O conhecimento de como se pode fazer a divisão do numerador pelo denominador em outras bases de numeração pode esclarecer o verdadeiro significado desse procedimento tão corriqueiro e automatizado no sistema decimal.

Pensar nessas coisas desenvolve um relacionamento diferente, mais íntimo e profundo com a Matemática. Forma também um conhecimento mais reflexivo e interiorizado, no qual podemos buscar respostas para nossos próprios questionamentos ou para as intempestivas e curiosas perguntas dos nossos alunos.

 

O nosso sistema de numeração é posicional e de base 10, o sistema decimal. Conseguimos escrever qualquer número natural apenas com os símbolos usados para indicar os números naturais de 0 a 9, aqueles menores que 10, a base escolhida. Assim, se escrevemos uma seqüência desses símbolos ou algarismos, como  a_n a_n-1 a_n-2 . . . a₁ a₀ , sabemos, pelos princípios que regem esse sistema, que tal notação significa  a_n ^. 10ⁿ + a_n-1 ^. 10^n-1 + ^{. . .} + a₁ ^. 10¹ + a₀ ^. 10⁰ .

Os princípios gerais desse sistema aplicam-se igualmente a outro sistema posicional, com uma outra base  b  escolhida. Nesse caso, símbolos serão atribuídos aos números  ,  menores que a base, e o significado de uma seqüência  a_n a_n-1 a_n-2 . . . a₁ a₀   desses símbolos nesse sistema será a_n ^. bⁿ + a_n-1 ^. b^n-1 + ^{. . .} + a₁ ^. b¹ + a₀ ^. b⁰ .

Como exemplo, se temos  603  em nosso sistema decimal, representando  6  ^. 100 + 3 ,  e queremos escrevê-lo no sistema de base 6, devemos procurar expressá-lo em grupos de potência de 6. Verifica-se que 603 = 2 ^. 6³ + 4 ^. 6² + 4 ^. 6 + 3, logo 603 se escreve como (2443)₆ .

Um tal sistema pode ser estendido, ou ampliado, de modo a poder representar também números não inteiros. A idéia-chave é a seguinte: observando que, na representação de um número inteiro na base 10, cada posição da esquerda para a direita corresponde a um grupo 10 vezes menor que o anterior, se continuamos uma casa à direita da casa das unidades, ela deve representar  uma quantidade  10  vezes menor que a unidade, ou seja, deve representar o que chamamos de  décimo.

  Vale observar que essa idéia simples e brilhante passou por percalços históricos, antes de ser definitivamente adotada. Os babilônios já a conheciam, por volta de 2000 a.C. Eles usavam um sistema posicional sexagesimal (base 60) e estenderam sua escrita para as casas fracionárias significando 1/60, 1/60^2, etc.

Entretanto, não tinham um símbolo para o zero nem um símbolo que fizesse a separação entre casas inteiras e fracionárias. Num mundo com pouquíssima comunicação, essa notação não se generalizou. Os hindus tinham o sistema decimal com o zero, mas paravam nas unidades, não usando casas fracionárias. Para as frações usavam notação com dois símbolos, semelhantes a numerador e denominador.

Analogamente ao que aconteceu com o zero, que só foi usado muito tempo depois dos outros naturais, também a notação para as frações num sistema posicional só foi retomada ou reinventada, agora com separação entre a parte inteira e a parte fracionária, muito mais tarde, no século XVI, por vários matemáticos.^(*)

 

Se temos um número racional escrito em duas notações - a fracionária (com numerador e denominador) e a posicional (com casas após a vírgula) -, como obter uma da outra? Neste texto, vamos explicitar a lógica do que se chama passar para a forma decimal, isto é, a passagem da notação fracionária para a forma posicional, com vírgula e casas após a vírgula (no Brasil e em muitos outros países, usa-se a vírgula para indicar a separação entre a parte inteira e a fracionária; em países de língua inglesa, usa-se o ponto, como nas calculadoras (ver RPM 21, pág. 25).

Sabemos como fazer isso em nosso sistema, de base 10. Tudo o que temos a fazer é dividir o numerador pelo denominador, sem parar no resto inteiro. Por exemplo, em  3/4, dividindo-se 3 por 4, obtém-se 0,75. Mas qual a lógica desse processo? Por que ele funciona? Para responder a essas perguntas é conveniente pensarmos antes na fração como resultado de uma divisão.

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(*) Adam Riese publica em 1522, na Alemanha, uma tabela de raízes quadradas na qual aparece a parte fracionária de cada raiz (uma aproximação, no caso das raízes não inteiras) expressa em notação decimal. É provável que o uso de um ponto para separar a parte inteira da decimal tenha ocorrido pela primeira vez na Aritmética de Pellos, de 1492. Em 1530 Rudolf usa, na Alemanha, um traço vertical para separar a parte inteira da parte decimal. Em 1585, Stevin, flamengo, apresenta um tratado sistemático sobre as frações decimais, em notação, contudo, pouco prática. Napier, num trabalho de 1617, usa o ponto amplamente, estendendo seu uso às operações.

 

Os livros didáticos comumente apresentam a utilização do número racional escrito na forma de fração no caso em que uma unidade é dividida em partes iguais (cujo número é indicado pelo denominador), das quais se toma um certo número (o numerador). Logo após, usam a fração como resultado da divisão do numerador pelo denominador, muitas vezes sem mostrar a equivalência das duas situações.

Vale a pena mostrar essa equivalência. Por exemplo, se consideramos o número racional 3/4. Tanto ele se aplica ao caso em que se têm 3 partes de 1 bolo que foi dividido em 4 partes iguais, como ao caso em que se pretenda dividir 3 bolos igualmente por 4 crianças. Com efeito, nessa segunda situação, um bom método é dividirmos 1 bolo de cada vez em 4 partes iguais e darmos 1 parte a cada criança. Ao final, cada uma terá recebido 1 quarto de cada bolo, portanto 3 quartos no total.

Consideremos a divisão: