Élio Mega e Eduardo Wagner São Paulo, SP, e Rio de Janeiro, RJ Correspondência: RPM –  Olimpíadas Caixa Postal 66281 05315-970 São Paulo, SP        OLIMPÍADA DO CONE SUL Foi realizada de 19 a 25 de abril em Assunção, no Paraguai, a 8a Olimpíada do Cone Sul. Participam dessa competição, todos os anos, Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Paraguai, Peru e Uruguai, e cada país compete com quatro alunos. A Olimpíada do Cone Sul é dedicada aos alunos muito jovens, e segundo o regulamento o participante na competição deste ano poderia ter no máximo 15 anos no ano passado. Por força desse regulamento, todos os países têm feito um grande esforço para detectar, com o auxílio dos colégios, os alunos talentosos em Matemática e promover seu desenvolvimento. No Brasil, temos trabalhado bastante nestes últimos anos e os resultados estão aparecendo.          Medalhas brasileiras na 9a Olimpíada do Cone Sul   Os alunos que representaram o Brasil na 9a Olimpíada de Matemática do Cone Sul foram selecionados entre os classificados na Olimpíada Brasileira Júnior, após um intenso treinamento. A delegação brasileira teve como líder a professora Luzinalva Amorim (membro da Comissão de Olimpíadas da SBM), e como vice-líder o professor  José Vieira Alves  (coordenador  regional  em  Campina  Grande, PB). O desempenho dos nossos jovens candidatos em sua primeira experiência internacional foi excelente e merece um destaque na nossa revista.   Medalhas de Ouro   Medalhas de Bronze Rui Lopes Viana Filho (SP) - 60/60 Murali  S. Vajapeyam (PB) - 59/60   Daniele Veras (CE) - 35/60 Christian Yveson (SP) - 34/60 A prova da Olimpíada do Cone Sul é realizada em dois dias consecutivos, com três problemas em cada dia. Cada problema vale, no máximo, 10 pontos e portanto a pontuação máxima de um aluno é de 60 pontos.

Pontuação por países Toda Olimpíada internacional de Matemática é uma competição individual. Entretanto, é costume estabelecer uma competição paralela entre países, somando os resultados de cada um, da mesma forma que é feito nas olimpíadas esportivas. Na 9a Olimpíada de Matemática do Cone Sul, o Brasil conquistou um destacado primeiro lugar, como mostramos ao lado.          A prova da Olimpíada do Cone Sul   Primeiro Dia   Problema 1 De cada número inteiro positivo    subtraímos a soma dos quadrados de suas cifras. Para que valores de  n,  essa diferença é a maior possível? Problema 2 Seja  C  uma circunferência de centro  O,  AB  o seu diâmetro e  R  um ponto qualquer em  C  distinto de  A  e de  B. Seja  P  a intersecção da perpendicular traçada por  O  a  AR. Sobre a reta  OP  se situa  Q,  de maneira que   QP  é a metade de  PO  e  Q  não pertence ao segmento  OP. Por  Q  traçamos a paralela a  AB  que intercepta a reta  AR  em  T.  Chamamos  H  a intersecção das retas   AQ  e  OT.  Provar que  H,  R  e  B  são colineares. Problema 3 Demonstrar que existem infinitos ternos  ,  com   números naturais que satisfazem a relação . Duração:  3 horas.   Segundo Dia   Problema 4 Considere um tabuleiro com  n  linhas e  4  colunas. Escreva na primeira linha  4  zeros (um em cada casa do tabuleiro) e, em seguida, cada linha é obtida da linha anterior realizando a seguinte operação: uma das casas, a escolha, deixa-se como está; nas outras três faz-se as trocas: se tem  0  põe-se  1,  se tem  1  põe-se  2  e  se tem  2  põe-se  0. Construa o maior tabuleiro possível com todas as linhas diferentes e demonstre que é impossível se ter um tabuleiro maior com essa propriedade.

Problema 5 Seja  n  um número natural,  Demonstre que entre os múltiplos de  9  menores que  existem mais números com a soma de seus dígitos igual a  do que números com a soma de seus dígitos igual a  Problema 6 Considere um triângulo acutângulo  ABC  e seja  X  um ponto no plano do triângulo. Sejam  M,  N  e  P  as projeções ortogonais de  X  sobre as retas que contêm as alturas do  triângulo  ABC. Determinar para que posições de  X,  o triângulo  MNP  é congruente ao triângulo  ABC. Nota: A projeção ortogonal de um ponto  X  sobre uma reta  r  é a intersecção de  r  com a perpendicular a ela que passa por  X. Duração: 3 horas.        3a OLIMPÍADA DE MAIO As provas da  3a  Olimpíada de Maio foram aplicadas em  9  de maio  de 1997 às 14 horas, com a participação de cerca de 40 colégios, só no Estado de São Paulo. A estrutura de funcionamento dessa olimpíada já foi descrita na seção Olimpíadas da RPM 31 e as instruções para inscrição estão na pág. 53 da RPM 33. A seguir, colocamos as questões do primeiro nível da Olimpíada de Maio de 1997. Essas questões foram consideradas muito difíceis pelos professores que inscreveram alunos; foram consideradas acima da capacidade de crianças de 13 anos. Lembramos que participam no primeiro nível alunos que completam, em 1997, até  13  anos, e no segundo nível, alunos que completam até  15  anos em 1997.   Primeiro nível Duração da prova: 3 horas. Cada problema vale 10 pontos. Justifique cada uma de suas respostas. Não se pode usar calculadora. Problema 1 Em um tabuleiro quadrado três por três (ou seja, com 9 casas) devem-se colocar nove elementos do conjunto  , diferentes entre si, um em cada casa e cumprindo as condições seguintes: ·       As somas dos números da segunda e terceira linhas são, respectivamente, o dobro e o triplo da soma dos números da primeira linha. ·       As somas dos números da segunda e terceira colunas são, respectivamente, o dobro e o triplo da soma dos números da primeira coluna.

Mostre todas as formas possíveis de colocar elementos de  S  no tabuleiro, cumprindo as condições indicadas. Problema 2 No retângulo  ABCD, M, N, P e Q  são pontos médios dos lados. Se a área do triângulo sombreado é 1, calcule a área do retângulo  ABCD. Problema 3 Em um tabuleiro 8 por 8, foram colocadas 10 fichas que ocupam uma casa cada uma. Em cada casa sem ficha, está escrito um número de 0 a 8, que é igual à quantidade de fichas colocadas em suas casas vizinhas. Casas vizinhas são as que possuem um lado ou um vértice em comum. Determine uma distribuição das fichas para que a soma dos números escritos no tabuleiro seja a maior possível. Problema 4 Joaquim e seu irmão André viajam sempre no ônibus da linha 62 e Joaquim sempre compra as passagens na bilheteria da rodoviária. Cada bilhete de passagem tem impresso um número de 5 algarismos. Um dia, Joaquim observa que os números de seus bilhetes - o seu e de seu irmão -, além de consecutivos, são tais que a soma dos 10 algarismos é precisamente 62. André lhe pergunta se a soma dos algarismos de algum dos bilhetes é 35 e, ao saber a resposta, disse corretamente o número de cada bilhete. Quais são esses números? Problema 5 Quando Paulo fez 15 anos, convidou 43 amigos para uma festa. O bolo tinha a forma de um polígono regular de 15 lados e havia 15 velas sobre ele. As velas foram colocadas de tal maneira que não havia três velas em linha reta e também duas velas e um vértice do polígono nunca estavam em linha reta. Paulo dividiu o bolo em pedações triangulares onde cada corte ligava duas velas ou ligava uma vela a um vértice. Além disso, nenhum corte cruzou outro já realizado. Explique por que, ao fazer isso, Paulo pôde dar um pedaço de bolo a cada um dos convidados mas ele próprio ficou sem comer? Como exemplo, publicamos a solução do Problema 4, como foi enviada aos professores participantes. Solução do Problema 4 Solución: Si el número más pequeño es  , e debe ser 9, pues en caso contrario el mayor sería  y la suma de los diez dígitos es  , que es impar y no sería nunca 62. Además si el número más pequeño acaba en un número par de nueves (99 o 9999), la suma de los diez dígitos también sería un número impar. Así pues, el número más pequeño es  (d no es 9) o (b no es 9).