Élvia Mureb Sallum Flávio Vagner Rodrigues IME–USP Soluções e Sugestões RPM – Problemas Caixa Postal 66281 05315-970 São Paulo, SP          Problemas   142. Mostre que quaisquer que sejam os  números  inteiros  a, b, c, d, e, a equação não pode ter todas as raízes reais. (Adaptado de um problema proposto numa Olimpíada de Matemática dos Estados Unidos, em 1983.)   143.  Seja um número natural e  k  inteiro.         (Enviado por José Hernandez, São José do Rio Preto, SP.)   144.Na figura, o triângulo  ADE  tem o mesmo perímetro e a mesma área do quadrilátero  BCDE. Determine os lados do  triângulo  ADE  sabendo-se que  AB = 8 cm,  AC = 5 cm  e  BC = 7 cm. (Enviado por Cristovam Araujo Girodo, SP.)   145.Considere um quadrilátero  ABCD  inscrito numa circunferência e  I  o ponto de intersecção das diagonais  AC  e  BD. Traçando por  I  perpendiculares aos lados  AB,  BC,  CD  e  DA  obtemos os pontos  M, N, P e Q, respectivamente. Prove que  I  é o centro da circunferência inscrita no quadrilátero  MNPQ. (Enviado por Guilherme Marques dos Santos Silva, PR.)         ... e probleminhas   1.   Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. Quantas são as altas e magras? Quantas são as baixas e magras?  (Tirado do Equis, no 2 - Montevidéu, Uruguai.)   2.   Uma turma de ceifeiros deveria trabalhar em duas roças, uma com o dobro da área da outra. Durante meio dia, todos trabalharam na roça maior, depois do almoço, metade da turma continuou na roça grande e a outra metade passou para a roça menor. No fim da tarde, o trabalho estava quase terminado, faltando apenas uma pequena faixa da roça menor. Esse pedaço foi concluído por um único trabalhador, que ceifou o dia seguinte inteiro. Quantos ceifeiros havia na turma?                 (Enviado por Jorge Luís Rodrigues Silva - Fortaleza, CE.) 3. Na multiplicação ao lado, os algarismos ímpares foram substituídos por  I  e os algarismos pares por  P. É possível reconstituir a multiplicação original? (Tirado do Jornal de Matemática Elementar, no 14    - Lisboa, Portugal.)   (Ver respostas na seção "O leitor pergunta" )      Soluções dos problemas propostos na RPM 31   134.    O número natural    tem  2n  algarismos. Os    primeiros são iguais a  1, os  n  seguintes são iguais a  2  e o último é  5. Mostre que, para  ,  N  é um quadrado perfeito e determine, em função de  n, a raiz quadrada de  N. Solução: Do enunciado do problema segue-se que o número  N  pode ser representado na forma: . Portanto, agrupando termos, obtemos: . Usando a fórmula da soma dos termos de uma P.G., segue-se:   . (Solução enviada por diversos leitores.) NOTA: Como foi corretamente observado por vários leitores,    é um número com  n  algarismos, terminado em  5  e cujos    primeiros algarismos são iguais a  3.   135.  Na figura,  C1  e  C2  são circunferências tangentes em  P. a)    Se uma reta corta C1 e C2 nos pontos  A, B e C, D, respectivamente, mostre que APC e BPD são ângulos congruentes. b)      Se uma reta tangencia C2 num ponto  C  e corta  C1  nos pontos  A e  B, mostre que  PC  é bissetriz do APB. Solução: Seja t a tangente comum às circunferências  C1  e  C2  no ponto P.         figura 1                                            figura 2      (Solução enviada por Carlos Alberto da Silva Victor, RJ.)   136. Na figura,  ABCD  é um quadrado e  T  um ponto qualquer, distinto de  B, na semi-reta de origem  A  contendo  B. Sejam  E  a intersecção das retas  DT  e BC  e  F  a intersecção das retas  AE e CT.  Mostre que  BF  é perpendicular   a  ET. Solução: