Roberto Ribeiro Paterlini
Departamento de Matemática da UFSCar

É muito comum encontrarmos, em textos de Matemática para o 1^o e 2^o graus, questões sobre contagem de dígitos. Lendo o problema 1 da   RPM 30, página 43, lembrei-me de ter visto uma fórmula no livro  História da Teoria dos Números, de Leonard Eugene Dickson. Folheando o livro, encontrei, na página 457, o seguinte resultado, publicado por M. d’Ocagne em 1888:

Ao escrever os números naturais 1, 2, 3, ..., N, onde  N  tem  n  dígitos, o número total de dígitos escritos é  n(N+1)1_n,  onde 1_n=11...1  tem  n  algarismos iguais a 1.

Essa fórmula parece-me bastante útil. Por exemplo, ela resolve facilmente o seguinte problema:

Quantos dígitos são usados, no total, para escrever os números naturais de  1  a  10¹⁰⁰⁰?

Como 10¹⁰⁰⁰ tem 1001 dígitos, a resposta é 1001(10¹⁰⁰⁰+1)1₁₀₀₀. Levando em conta que

Apresentamos duas demonstrações da fórmula de M. d’Ocagne.

Pretendo passar para o leitor da RPM os passos que segui para demonstrar a fórmula de M. d’Ocagne.

Comecei  observando  que,  para  escrever  os  números  de  um  dígito  1, 2, 3, ..., 9, usamos 9 dígitos. Os números de 2 dígitos, de 10 a 99, perfazem  9 ^. 10 números, portanto o número de dígitos é  2 ^. 9 ^. 10   números de três dígitos, portanto usamos  3 ^. 9 ^. 10²  dígitos para escrevê-los. Em geral, existem

números de  m  dígitos. Surgiu então a soma

que é o número total de dígitos usados para escrever todos os números com  m  ou menos dígitos.

Percebi que seria preciso encontrar uma fórmula fechada para  D_m . Examinei primeiro o caso particular  ,  o que me inspirou como proceder no caso geral. Obtive assim o seguinte:

Dado um número natural  N  com  n  dígitos, existem    números com  n  dígitos de    a  N,  inclusive. Assim, o número total de dígitos usados para escrever os números  1, 2, 3, ..., N  é

o que demonstra a fórmula de M. d’Ocagne.

Enquanto desenvolvia a demonstração anterior, lembrei-me de utilizar o Método da Indução Finita. O resultado foi o seguinte.

Seja  P(N)  a afirmação:  ao escrever os números naturais 1, 2, 3, ..., N,  onde  N  tem  n  dígitos, escrevemos    dígitos.

Se  N=1, o número acima é 1(1+1)1=0, o que corresponde à realidade. Portanto, P(1)  é verdadeira.

Suponhamos que  P(N) seja verdadeira. Para provar que  P(N + 1)   é verdadeira, temos dois casos a considerar:

1^o caso:  o número de dígitos de  N + 1   é  n.

Então o número de dígitos necessários para escrever 1, 2, 3, ..., N + 1é  

2^o caso:  o número de dígitos de  (isso significa que N = 99...9 (n 9’s)).

Então o número de dígitos necessários para escrever 1, 2, 3, ..., N + 1 é N+1 é n(N+1)1n+n+1=(n+1)(N+2)1nN1. Observe que

Em virtude do Método da Indução Finita, a afirmação  P(N)   vale para todo N1. Com isso encerramos essa segunda demonstração da fórmula de M. d’Ocagne.