Eduardo Wagner

A palavra parábola está, para os estudantes do 2^o grau, associada ao gráfico da função do segundo grau. Entretanto, quase todos conhecem as antenas parabólicas, mas nem todos fazem ligação entre uma coisa e outra. Os espelhos dos telescópios e dos faróis dos automóveis também são parabólicos. Por quê?

Neste artigo, vamos partir da definição dessa curva chamada parábola, descobrir sua equação e investigar algumas de suas propriedades, que vão justificar por que as antenas e os espelhos precisam ser parabólicos.

Por questões de simplicidade, tudo o que dissermos de agora em diante se passa num plano.

Consideremos uma reta  d  e um ponto  F.  Parábola de foco  F  e diretriz  d  é o conjunto de todos os pontos cuja distância à reta  d  é igual à distância ao ponto  F.

Na figura acima, se  ,  então  P  é um ponto da parábola de foco  F  e diretriz  d.

Para obter diversos pontos de uma parábola, dados o foco  F  e a diretriz d,  trace por  F  uma reta  r  perpendicular à diretriz e seja  D  o ponto de interseção de  r e  d.

O segmento  DF  chama-se parâmetro da parábola e o ponto  V,  médio de  DF,  é o vértice da parábola. Para cada ponto  A  da semi-reta  VF, trace a reta  s, perpendicular a  r.  A circunferência de centro  F  e raio  AD  corta  s  nos pontos  P  e  P’, que pertencem à parábola.

Em um sistema de coordenadas, não é difícil encontrar a equação da parábola, dados o foco e .

o que mostra que a equação de uma parábola é da forma    (uma função do segundo grau). Reciprocamente, dada uma função da forma  , é fácil provar que qualquer um de
 que o gráfico de    é uma parábola.

Com um pouco mais de trabalho, o leitor poderá demonstrar que o gráfico de  é também uma parábola e, ainda, exatamente igual ao gráfico de 
 

Vamos voltar agora às nossas perguntas iniciais. Por que as antenas que captam sinais do espaço são parabólicas? Por que os espelhos dos telescópios astronômicos são parabólicos? Nos dois exemplos acima, os sinais que recebemos (ondas de rádio ou luz) são muito fracos. Por isso, é necessário captá-los em uma área relativamente grande e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena (ou do espelho) deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a reflexão.

A antena ideal deve dirigir todos os sinais recebidos ao ponto F.

A parábola possui exatamente essa propriedade e, por isso, as antenas e os espelhos precisam ser parabólicos. Para demonstrar, vamos ver em seguida duas propriedades da parábola.

Primeira propriedade

Vamos observar inicialmente que uma parábola separa os demais pontos do plano em duas regiões: uma, onde cada ponto tem distância ao foco menor que sua distância à diretriz (chamada região interior) e outra onde a distância de cada ponto ao foco é maior que a distância à diretriz (chamada região exterior).

A figura anterior mostra uma parábola de foco  F  e diretriz  d  e uma reta  r  paralela a  d cortando a curva em  P  e  P' . Se o ponto  P₁   da reta  r  é interior ao segmento  PP' ,  então  P₁F < PF = PD = P₁D₁  e, portanto, P₁  é interior à parábola. Por outro lado, se  P₂  é um ponto da reta r exterior ao segmento  PP'  , então  P₂F < PF = PD = P₂D₂  e  P₂   é exterior à parábola.

Segunda propriedade

Os raios de luz e as ondas de rádio propagam-se no espaço em linha reta. Aliás, isso não é inteiramente verdadeiro, mas para o observador da Terra é praticamente. Quando esses sinais são refletidos em um ponto de uma superfície, tudo se passa como se estivessem sendo refletidos em um plano tangente à superfície nesse ponto, de acorco com a famosa lei da Física: “o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão”.

Consideremos agora um ponto  P  qualquer da parábola de foco  F  e  diretriz  d, e ainda a reta  t, bissetriz do ângulo  FPD. Vamos mostrar geometricamente que  t  é tangente à parábola.

No triângulo  PFD ,  como  PF = PD ,  a reta  t,  bissetriz do ângulo FPD ,  é também mediana e altura. Em outras palavras, a reta  t  é mediatriz do segmento  .  Seja agora  Q,  um ponto qualquer da reta  t,  distinto de  P .  Se  D'   é a projeção de  Q  sobre  d,  temos:

  .

Portanto,  Q  é exterior à parábola. Ora, o ponto P  da reta  t  pertence à parábola e todos os outros pontos de  t  são exteriores. Logo,  t  é tangente à parábola em P .

Observe, na figura acima, a semi-reta PY, prolongamento do segmento DP. Como a tangente à parábola em  P  é bissetriz do ângulo  FPD., temos que  PY  e  PF   fazem ângulos iguais com essa tangente. Portanto, PY  e  PF . Por isso, todo sinal recebido na direção do eixo da parábola toma a direção do foco após a reflexão.