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Samuel Hazzan
Um assunto que tem despertado o interesse do público hoje em dia, dadas as
limitações dos planos de aposentadoria do INSS, é o estudo de planos de
complementação de aposentadorias.
Trata-se de resolver um problema do seguinte tipo:
Dados um valor de complementação mensal da aposentadoria e uma taxa real
de juros (taxa isenta do efeito inflacionário), qual deve ser o depósito
mensal a ser aplicado durante o período de trabalho, de modo a garantir no
futuro a retirada pretendida?
Esse problema é uma aplicação importante de juros compostos, que, por sua
vez, são uma aplicação do estudo das progressões geométricas.
Daremos aqui a solução desse problema na seguinte situação:
Um profissional, atualmente com 30 anos, pretende aposentar-se aos 55 anos
e deseja uma complementação de aposentadoria de uma quantia mensal que
corresponda ao que hoje seriam
R$ 1500,00, durante 30 anos. Qual o valor do depósito mensal que
deverá efetuar, a
partir de
agora, para
atingir seu objetivo?
Estamos supondo que os depósitos e as retiradas sejam corrigidos
monetariamente a partir de hoje e vamos considerar que os juros sobre o
capital aplicado sejam compostos dessa mesma correção monetária mais uma
taxa real de juros de 0,5% ao mês.
São duas as perguntas a que precisamos responder:
1)
Qual a quantia M que, aplicada à taxa
de 0,5% ao mês, pode gerar uma retirada mensal de R$ 1500,00 durante 360
meses (30 anos)?
2)
Qual o depósito mensal C que, aplicado à taxa
de 0,5% ao mês, somará no final de 300 meses (25 anos) essa tal quantia
M?
Para respondermos a essas questões, começamos por lembrar que um capital
C, empregado a
uma taxa
mensal i, valerá, no final do 1o mês, C1
= C + C x
i, ou seja, valerá
C1 = C (1 + i).
No final do 2o mês, estará valendo
C2 = C1
+ C1
x
i = C1 (1+ i) =C
(1 + i)2
e, assim por diante, no final do n-ésimo mês
estará valendo Cn = C (1 +
i)n . Dessa forma, um
, um
depósito de C reais
por mês, ao final de
n
meses, renderá um total
M, que pode ser calculado usando a fórmula da soma dos termos de uma
PG de razão 1 + i :
Em sentido contrário, se de uma quantia
V aplicada num certo
mês
0 são retidos
R
reais por mês, a partir do mês 1, e no final de
p
meses ela se esgota, têm-se os fluxos abaixo equivalentes:
Logo, os dois fluxos têm o mesmo valor na época zero e então
ou, novamente aplicando a fórmula da soma dos termos de uma PG:
Na situação usada como exemplo, o profissional deseja contribuir com um
depósito mensal por 25 anos ou 300
meses (
Observações:
a)
Admitimos que os valores
das contribuições e os das retiradas serão
corrigidos pelos índices de inflação ao longo do tempo, de modo a
não haver perda do poder aquisitivo da moeda (desde que o indexador
reflita adequadamente a desvalorização da moeda).
b)
A taxa real de 0,5% ao mês é a taxa histórica da caderneta de poupança. Se
o profissional, entretanto, conseguir outras aplicações que rendam mais do
que a caderneta de poupança, o valor a ser aplicado será menor. Por
exemplo, para uma taxa real de 0,7% ao mês, os depósitos mensais podem ser
de R$ 194,00.
c)
O leitor poderá
facilmente simular outras situações, mudando:
d)
Deixamos, ainda, a
cargo do leitor a dedução da fórmula (2) para o caso em que o número de
parcelas seja infinito, isto é, para o caso de renda perpétua. Nesse caso,
é
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