¨    Um leitor de João Pessoa, PB, pergunta: Como mostrar, de forma elementar, que a área da elipse é  ,  sendo  a  e  b   os dois semi-eixos da elipse?

Consideremos o círculo de centro na origem do sistema considerado, e raio  a,  e sejam  A,B,C,D,E,F,C₁,D₁,E₁ e F₁  como na figura 1.

As áreas  A(E₁D₁DE )  e  A(F₁C₁CF)  dos retângulos  E₁D₁DE e  F₁C₁CF  satisfazem

Tomamos, como na figura 2, coberturas do círculo e da elipse por retângulos como os anteriores. É natural esperarmos que, se fizermos as bases dos retângulos bastante pequenas, a soma das áreas dos retângulos maiores (do tipo  se aproximará da área do círculo e a soma das áreas dos retângulos menores (do tipo  se aproximará da área da elipse.

¨    Um leitor de São Paulo, SP, pergunta: Como calcular os raios das esferas inscrita e circunscrita em um dodecaedro regular em função do comprimento a de sua aresta?

RPM: O dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais (de lado a) e em cada vértice concorrem 3 arestas.

As esferas inscrita e circunscrita ao dodecaedro têm o mesmo centro O.

Vamos olhar o poliedro como uma reunião de pirâmides regulares com vértice  O e cujas bases são as faces pentagonais. Tais pirâmides terão altura igual ao raio  r da esfera inscrita e aresta lateral igual ao raio  R  da esfera circunscrita.

Inicialmente tomamos os pontos médios  A, B, C  das 3 arestas que concorrem no mesmo dodecaedro e chamando de O' o seu centro temos:

Na figura acima ainda obtemos:

Vamos agora calcular o raio  r' da circunferência circunscrita ao ABC.

Finalmente, a reta  OV  é perpendicular ao plano do  ABC  e o intercepta no ponto  O". Analisando o triângulo retângulo  OCV, obtemos:

As relações  (4)  e (5)  nos permitem determinar  R. Mais precisamente:

O raio da esfera inscrita é obtido a partir do triângulo retângulo OO'V.

Observação: Os cálculos feitos nos permitem ainda calcular o volume do dodecaedro regular em função do comprimento a da aresta (essa pergunta também foi feita por um leitor de São Paulo). Para tanto calculamos o volume da pirâmide regular de vértice O, altura r e cuja base é um pentágono regular de lado a. Multiplicando-se esse resultado por 12 (são 12 faces!), obtemos o volume procurado.