 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
Os
professores estão sempre sendo desafiados a pensar na didática da sua
matéria, em particular os de Matemática. Todo professor de Matemática
tem seus "casos" para contar: desde os alunos que vibram com a
matéria até os que chegam a dizer que nasceram sem dom para ela. A
discussão sobre que processos, métodos e teorias pedagógicas ou combinações
delas poderiam produzir melhores resultados no ensino da Matemática, ou
mesmo no ensino em geral, já é antiga. Muito se tem escrito e falado
sobre o assunto. Na
verdade, não há respostas simples e muitas vezes as opiniões acabam
sendo forjadas por considerações não necessariamente pedagógicas.
Entretanto, há algumas coisas relativamente simples que podem ajudar todo
aluno a interessar-se e aprender a matéria. Já
faz um certo tempo que se considera a resolução de problemas um
excelente recurso pedagógico. Nem é necessário dizer que isso irá
depender da qualidade do problema. Um bom problema é aquele cujo
enunciado é o mais claro e simples possível, mas cuja resolução
depende muito da criatividade, engenhosidade e conhecimento (mesmo que em
nível básico) da Matemática. É claro que os problemas exigem
diferentes níveis de maturidade e conhecimento dessa matéria, daí a
necessidade de que sejam criteriosamente selecionados antes de serem
apresentados aos estudantes. Nas
Olimpíadas de Matemática, cujas provas geralmente são formuladas através
de problemas, as preocupações a que nos referimos estão sempre
presentes, pois as organizações responsáveis por
tais eventos contam com o trabalho de professores e pesquisadores
de Matemática ou Educação Matemática de gabarito. Por
essas e outras considerações, não se pode negar que
as Olimpíadas de Matemática contribuem bastante para a melhoria
do ensino do primeiro e do segundo graus, de que o nosso país tanto
necessita.
No
dia 23 de novembro passado foi realizada, no Instituto de Física da USP,
a fase final da 20a Olimpíada Estadual de Matemática.
Concorreram estudantes de escolas públicas e particulares, da capital e
do interior de São Paulo (na verdade, escolas de Campo Grande, MS,
e de Pouso Alegre, MG,
também participaram), em três níveis: 6a série, 8a
série e 2o colegial. Os
estudantes começaram as provas às 8h 30min; no mesmo dia foram
corrigidas as provas e definidas as classificações, por nível e por
origem (escola pública ou particular). Às 16h, no Palácio do Governo,
com a presença de importantes personalidades públicas envolvidas com a
educação, foi realizada a festa da entrega de medalhas e prêmios aos
alunos de melhor desempenho. Foi
um evento memorável, abrilhantado pelo entusiasmo genuíno e expressivo
das crianças e jovens participantes da competição, que não se cansavam
de aplaudir e aclamar os colegas que eram chamados, juntamente com seus
professores, para receber seus prêmios. Para
que o leitor possa ter uma idéia do tipo de problemas e questões
propostos nessa olimpíada, apresentamos a seguir a prova aplicada aos
candidatos do 2o colegial. As provas para o 1o
grau são um pouco diferentes, com enunciados mais adequados ao seu nível. Lembramos
que a prova deveria ser resolvida em 2h 30min.
1a
questão
b)
Determine a matriz
2a
questão a)
Mostre que, para todo x real,
. b)
Resolva, no universo dos reais, a equação
3a
questão a)
A reta de equação f(x)
= x + 1 é tangente ao gráfico de
g(x) = ex, onde e
é a base dos logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é 2,7.
Considere x
b)
Baseado nos gráficos da parte a), resolva a inequação
ex > x + 1.
c)
Utilizando o resultado do item b), prove
que
4a
questão Considere
o conjunto
a)
Quantos elementos de
b)
Quantos elementos de
c)
Quantos elementos de
5a
questão Uma
pirâmide regular tem vértice
a)
Calcule o volume da pirâmide OABC.
Os
melhores classificados na Olimpíada Estadual de Matemática (SP) foram
convidados a participar da 5a Olimpíada de Matemática
Rioplatense, realizada em Puerto Iguazu, na Argentina (fronteira com o
Brasil e Paraguai). Concorreram os seguintes países: Brasil, Argentina,
Espanha, México, Uruguai, Chile e Colômbia. De
acordo com o regulamento, essa olimpíada compõe-se de provas aplicadas
em pelo menos três níveis: nível
1 - para estudantes com 8 ou 9 anos de escolaridade nível
2 - para estudantes com 10 ou 11 anos de escolaridade nível
3 - para estudantes com 12 ou 13 anos de escolaridade Pode
haver provas para níveis mais básicos, denominadas provas de nível A,
B, C, etc., em ordem decrescente de escolaridade. Nessa 5a
Olimpíada foi decidido aplicar provas também para o nível A. O
Brasil concorreu com 8 estudantes: três no nível A, dois no nível 1 e
três no nível 2. Os estudantes André Arroyo Ruiz (medalha de ouro, nível
2) e Fabrício Shigueru Catae (medalha de prata, nível 2) garantiram uma
boa participação do Brasil. Para ter uma idéia dos resultados,
considere que somente a Argentina, a Colômbia e o Brasil obtiveram
medalhas de ouro. Como
curiosidade, vamos apresentar a prova do segundo dia do nível A e a prova
do primeiro dia do nível 2. Cada prova deve ser resolvida em, no máximo,
3h 30min.
1.
As equipes nacionais da Alemanha e da Itália jogam entre si,
alternadamente, ora em um país, ora em outro. Já jogaram 13 partidas. Em
7 delas a equipe local ganhou. A equipe alemã ganhou 9 partidas no total.
Não houve nenhum empate. É possível saber, com essa informação, em
que país se jogará a próxima partida? Em caso afirmativo, diga em que
país será. Em qualquer caso, justifique sua resposta. 2.
Em uma urna se colocam 900 fichas numeradas de 100 a 999 e não ordenadas.
Pedimos a Júlia que retire uma ficha, anote a soma dos dígitos do número
que aparece e depois rasgue a ficha. Qual é o menor número de vezes que
Júlia deve efetuar essa operação para estar certa de ter anotado, pelo
menos três vezes, a mesma soma?
3.
Em uma circunferência de centro O, traçam-se a corda
1.
As Líneas Aéreas Rioplatenses ligam todas as cidades do país de
"La Plata" de maneira não necessariamente direta. Chama-se capacidade
de uma cidade ao número de empregados das Líneas Aéreas
Rioplatenses que há
nela e carente cada cidade cuja
capacidade é estritamente menor do que a parte inteira da média das
capacidades das cidades às quais está ligada diretamente. Para melhorar o serviço, as Líneas Aéreas Rioplatenses contratam
um inspetor, cujo trabalho consiste em escolher a cada dia uma cidade
carente e aumentar sua capacidade, para que se torne igual à parte inteira
acima citada. O inspetor sabe que conservará seu emprego enquanto
restarem cidades carentes. Demonstre que algum dia ele será despedido.
2.
Seja z
um número inteiro. Definimos a seqüência
Encontre
o menor inteiro positivo z
para o qual
3.
Uma circunferência S
está inscrita em um quadrilátero
ABCD, cujo lado
Nota:
Os lados do quadrilátero ABCD
são
|
.
.
IR
.
