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138.
Considere,
num plano, uma infinidade de pontos. Sabendo-se que a distância entre
dois pontos quaisquer é um número inteiro, mostre que eles são colineares. 139.
Dados
dois espelhos planos paralelos, considere dois pontos A
e B entre eles. Determine a
trajetória que deve percorrer um raio de luz partindo de A
para atingir o ponto B após ter
sido refletido 3 vezes num espelho e 2 vezes no outro. Admite-se que o ângulo
de incidência seja igual ao de reflexão.
(Do livro: Um
estudo geométrico das transformações elementares, de Sérgio Alves
e Maria
Elisa E.L. Galvão. Publicações do IME-USP,
1996.)
140.
Seja
X
um conjunto e seja
(Do
livro: Curso de análise, vol.
1, de Elon Lages Lima, Rio de
Janeiro, IMPA.) 141. a) Dada uma equação do segundo grau, com coeficientes
inteiros, mostre b) Para
quantos valores reais do número a
a equação x2
+ax +6a = 0
possui
somente raízes inteiras?
(Do livro: Problemas
selecionados de Matemática, vol. 1, de Antonio
Luiz Santos e Raul F. W.
Agostino.)
1.
Qual
é a diferença entre as 53 das 67 partes iguais de um retângulo e uma
das 67 partes iguais de 53 retângulos, admitindo que todos os retângulos
considerados sejam do mesmo tamanho? (Enviado por Jorge
Luis Rodrigues e Silva, CE.) 2.
Luís
e seu filho, mais João e seu filho, foram pescar. João pescou tantos
peixes quanto seu filho, enquanto Luís pescou o triplo dos peixes do seu
filho. No total pescaram 35 peixes. O filho do João chama-se Vasco. Como
se chama o filho do Luís? Quantos peixes cada um pescou? (Tirado do livro
Desafios 4, de Eduardo
Veloso e José Paulo Viana - Porto, Portugal - Edições Afrontamento.) 3.
Qual
é o maior número que se pode escrever usando única e exclusivamente
quatro vezes o algarismo 2? (Tirado do livro Desafios
2, de Eduardo Veloso e José Paulo Viana -
Porto, Portugal - Edições Afrontamento.) (Ver respostas na seção "Olimpíadas")
130.
Utilizando
apenas uma régua (sem escala) que permite traçar paralelas, determinar o
ponto médio de um segmento dado. Justificar. Solução:
Dado
um segmento AB traçamos uma
paralela r ao segmento
AB
e duas retas
AP e
BP,
que cortam r em C e
D,
respectivamente. Construímos as retas
AD
e BC
que se cortam em E.
A reta PE corta o segmento
AB
no seu ponto médio M.
(Solução enviada por Miguel de Carvalho Neves, RJ.) Observação:
Nos
problemas clássicos da geometria euclidiana a única função de uma régua
é construir uma reta ligando dois pontos dados. Nesse problema, em que a
régua tem 2 lados paralelos, permitimos apenas mais uma função, que é
a de traçar duas retas paralelas usando-se os dois lados paralelos da régua
dada. 131.
Na
figura temos dois círculos de mesmo raio, com centros em
O
e O´, tangentes entre
si. Calcule a distância entre as retas paralelas
r e s de modo que as duas
regiões hachuradas tenham a mesma área.
Solução:
(Solução enviada por diversos leitores.) 132. Seja
f: IR a)
Mostre que
b)
Mostre que
c)
Existe, de fato, uma tal função? Solução:
Sabemos que f:
IR
133. Oito
times disputam a inclusão no quadrangular final de um campeonato de
futebol. Sabe-se que cada par de times joga uma só vez entre si e que, em
caso de vitória, o time ganha dois pontos, no caso de empate, ganha um
ponto e, na derrota, não ganha ponto. Qual é o número mínimo de pontos
que um time deve alcançar para garantir a passagem para o quadrangular
final? Solução:
Vamos mostrar que o número mínimo de pontos necessários
é igual a 11. Em primeiro lugar mostraremos que esse número é
suficiente para garantir a entrada no quadrangular final. Suponhamos que
ele não seja, isto é, que o torneio possa ter
5 times com um número
de pontos não inferior a 11
cada um. Então o total de pontos desses times não é inferior a
55. Mas, nos 10 jogos que
esses 5 times realizam entre si, o total de pontos por eles obtidos é
igual a 20. Nos jogos que
realiza com os outros três times, cada um dos
5 obtém no máximo 6 pontos e portanto o total dos 5 será no máximo
30. Mas isso é uma contradição, uma vez que
(Adaptado da solução publicada no livro do qual foi
extraído o problema.)
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