1 - Interpretação geométricas dos sistemas lineares 3 x 3

Segundo os professores, não é de fato usual interpretar geometricamente os sistemas lineares
equações e duas incógnitas, quando se faz o seu estudo na 7^a série do 1^o grau. Nesse caso, cada equação do sistema

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

representa uma reta do plano e as posições relativas de duas retas no plano são somente três:

a) retas concorrentes     b) retas paralelas     c) retas coincidentes

Nos casos a), b) e c) o sistema tem solução única, não tem solução ou tem infinitas soluções, respectivamente.

Já para sistemas lineares 3 x 3 da forma

                                          a₁x + b₁y + c₁z = d₁                  (1)

a₂x + b₂y + c₂z = d₂                  (2)

a₃x + b₃y + c₃z = d₃                  (3)

as equações (1), (2), (3) representam planos _{1, 2} e ₃ no espaço tridimensional.

Agora, entretanto, as possibilidades para as posições dos três planos são oito (ver [1]). Quatro delas correspondem a sistemas impossíveis (nenhuma solução), três, a sistemas indeterminados^(*) (infinitas soluções) e uma, a sistemas que têm uma única solução.

Os depoimentos abaixo mostram que essa abordagem geométrica torna o assunto mais interessante e dá maior segurança para quem o ensina.

Professor A:

“Trabalho com uma turma do 2^o ano do 2^o grau muito interessada em estudar. Quando ia introduzir Sistemas Lineares, fiz uma revisão de sistemas do 1^o grau com duas variáveis vistos na  7^a  série do 1^o grau. Os alunos fizeram várias perguntas sobre os tipos de solução. Fiz os gráficos das equações e mostrei as retas paralelas, coincidentes e concorrentes para justificar as soluções. Se não tivesse feito esse curso, teria ficado em “apuro”, pois, quando comecei os sistemas com 3 variáveis e 3 equações, eles também me perguntaram como representá-los graficamente.”

Professor B:

“Estou sabendo fazer a interpretação geométrica dos problemas e isso me deixa mais à vontade. Antigamente, sabia fazer algebricamente, mas ficava uma lacuna, um vazio, faltava a interpretação.”

Os comentários feitos podem ser sistematizados assim: ao associar um plano a cada equação sistema linear 3 x 3, a abordagem geométrica permite distingüir tipos diferentes de sistemas  indeterminados e impossíveis. Analisando as possibilidades para as posições relativas de três planos no espaço, os professores perceberam que:

(1) No caso dos sistemas indeterminados, as infinitas soluções podem ser os pontos de um plano ou de uma reta.

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(*) NR: Embora esse seja o nome usual, na verdade o conjunto solução desses sistemas está completamente determinado, apesar de ter infinitos elementos.  

(2) No caso dos sistemas impossíveis, a inexistência de soluções pode ocorrer de maneiras distintas: dois ou três planos podem ser paralelos entre si ou os três planos podem se interceptar dois a dois segundo retas paralelas.

Ilustremos essas situações com alguns exemplos.

Exemplo 1: O sistema

    x - y +  z = 1      (1)

2x - 2y + 2z = 2     (2)

3x - 3y + 3z = 3     (3)

tem infinitas soluções, pois todos os ternos ordenados de números reais da forma  
(a, b, 1 - a + b )   satisfazem as suas três equações. Vemos imediatamente que cada equação pode ser obtida de qualquer outra por meio da multiplicação por uma constante. Geométricamente, portanto, (1), (2) e (3) representam o mesmo plano , e as infinitas soluções nesse caso são os pontos de .

Fig. 1:

Exemplo 2: O sistema

x +   y +   z = 1     (1)

2x + 2y + 2z = 2     (2)

                    z  = 0     (3)

real, satisfazem as três equações. Contudo, a interpretação geométrica é diferente da do exemplo 1. De fato, (1) e (2) representam o mesmo plano anterior, mas (3) representa um outro plano, ₃, que intersecta V segundo a reta r. No espaço, dois plano não coincidentes e não paralelos têm como interseção uma reta.) Ao fazer variar no conjunto dos números reais, obtemos todos os pontos dessa reta.

Fig. 2: ₁ = ₂ =         ₃  = r

Os exemplos acima mostram duas possibilidades de “indeterminação”.

Vejamos agora dois exemplos distintos de sistemas impossíveis.

Exemplo 3: O sistema

x + y + z = 0                 (1)

x + y + z = 1                 (2)

x + y + z = 2                 (3)

claramente não possui solução.

A situação geométrica corresponde ao caso em que os três planos ₁, ₂ e ₃ são paralelos, já que não existe um terno ordenado real (x, y, z) que satisfaça simultaneamente quaisquer duas dessas equações.

Exemplo 4: O sistema

2x - 3y + 2z = 2            (1)

3x - 2y + 4z = 2              (2)

4x -   y + 6z = 3            (3)

também não tem solução.

Uma maneira simples de verificarmos esse fato é, por exemplo, somar as equações (1) e (3) e comparar o resultado com a equação (2).

Considerando agora os sistemas formados por (1) e (2), (1) e (3) e por (2) e (3), podemos Concluir e que _{1 1} é uma reta r, _{1 1} é uma reta s e _{1   1}  é uma reta t.

Verifiquemos que r, s e t são paralelas.

Os pontos de r satisfazem (1) e (2), logo não satisfazem (3), pois o sistema é impossível. Portanto, temo r paralela a ₃. Como s está contida em ₃, temos que r e s não se cortam, logo são paralelas já que ambas estão contidas em ₁. De modo análogo vemos que s é paralela a t.

Portanto, a interpretação geométrica do sistema em foco é: o sistema é impossível porque os planos representados por suas equações se intersectam dois a dois segundo três retas paralelas.

2 - Regra de Cramer x escalonamento

Os professores também demonstraram interesse na questão da opção pelo método de resolução de sistemas lineres 3 x 3.

A regra de Cramer para resolver sistemas lineares só pode ser aplicada no caso em que o determinante da matriz dos coeficientes do sistema é não nulo: essa situação corresponde ao caso em que os três planos se intersectam num ponto e o sistema tem solução única. Entretanto vários livros afirmam erroneamente que um sistema que tem nulos todos os determinantes da regra de Cramer é indeterminado (ver [2]). 

Com relação à discussão sobre a utilização incorreta da regra de Cramer, os professores também se manifestaram. Vários deles citaram livros em que aparece a afirmativa acima e admitiram que já haviam cometido tal erro ao ensinar. A interpretação geométrica dos sistemas lineares possibilitou-lhes perceber claramente a falsidade dessa afirmativa através de exemplos que eles mesmos souberam construir. Vejamos um desses exemplos.

Exemplo 5: O sistema

x + y + z = 0                 (1)

x + y + z = 1                 (2)

x + y + z = 2                 (3)

considerado no exemplo 3 claramente não possui solução (os três planos são paralelos). Entretanto, os determinantes utilizados na regra de Cramer

são todos nulos, pois as matrizes possuem pelo menos duas colunas iguais.

A partir do curso, os professores passaram então a dar mais ênfase ao método de escalonamento, mais geral, tendo adotado essa prática em suas salas de aula, como mostram os seguintes relatos.

Professor C:

“Este curso me ajudou muito, principalmente na resolução de sistemas lineares , que antes eu trabalhava usando determinantes e quando encontrava todos os determinantes iguais a zero classificava o sistema como indeterminado, cometendo o mesmo erro de alguns autores. Após o curso passei a resolver sistemas com meus alunos usando o escalonamento. Tenho mais clareza e segurança ao abordar o assunto.”

Professor D:

“Apesar de não ter mencionado a resolução de sistemas por Cramer quando D = 0, alguns alunos repetentes apresentaram soluções com a teoria errada. A referência ao assunto que vi no curso ajudou-me a perceber e comentar o erro. Acredito que no próximo ano eu apresentarei esse assunto de forma melhor.”

Por esses depoimentos, podemos perceber que o enfoque dado aos sistemas lineares durante o curso foi importante para os professores se posicionarem com segurança em relação ao assunto dentro de sua prática profissional.

 

A associação dos sistemas lineares 2 x 3 e 3 x 3  com a Geometria Espacial foi, como vimos, uma surpresa para os professores, que logo pensaram um modo de adaptar tal interpretação à realidade da sala de aula.

Alguns ponderaram que, apesar do estudo de retas e planos no espaço ser feito após o de sistemas lineares, é possível apresentar aos alunos a associação acima de maneira simples. Consideraram importante a analogia com o estudo de sistemas lineares 2 x 2 , que é feito no 1^o grau. Esse exemplo é, a nosso ver, uma boa ilustração de como se pode enriquecer o trabalho com a Matemática, evitando-se uma visão compartimentada da Matemática, presente muitas vezes entre os professores.

Aproveitamos a idéia da associação de um tópico, abordado tradicionalmente de modo algébrico, com a Geometria para enfatizar que o enfoque geométrico é um instrumento poderoso que merece ser usado sempre que possível. Para terminar, salientamos que o tema Coordenadas no espaço foi adequado para atender às expectativas dos professores, tendo tido reflexos positivos em sua atuação na sala de aula.

Referências Bibliográficas

[1] LIMA, E. L. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro: SBM, 1993.

[2] LIMA, E. L. Sobre o ensino de sistemas lineares. RPM. São Paulo: SBM, n^o 23: 8-18, 1993.