Foi realizada em São José, Costa Rica, a 11^a  Olimpíada Ibero-Americana de Matemática, que contou com a participação de 18 países. A organização local foi perfeita. Os professores líderes, que constituíram o Júri Internacional, trabalharam no Hotel Centro Colón, e os alunos ficaram hospedados nas magníficas instalações da Escola de Agricultura do Trópico Úmido, a cerca de 80 km da capital da Costa Rica. Essa escola é uma instituição dedicada à pesquisa na área da agricultura e fica situada em uma rica região de floresta tropical, totalmente preservada, e propiciou aos alunos e professores acompanhantes todo o conforto, com muito espaço para descanso, esportes e lazer.

Os participantes tiveram também oportunidade de conhecer diversos aspectos desse interessante país, com sua geografia cheia de profundos contrastes.

 As provas foram realizadas em dois dias consecutivos (três problemas em cada dia). O Brasil tem conseguido excelentes resultados na Olimpíada Ibero-Americana, e desta vez não foi diferente. Nossos quatro alunos conseguiram os seguintes prêmios:

                       André Arroyo Ruiz (SP) - Medalha de Ouro

                      Onofre Farias (CE) - Medalha de Prata

                      Carlos Yuzo Shine (SP) - Medalha de Prata

                      Eduardo Cabral Balreira (CE) - Medalha de Bronze

Na soma de pontos por país ficamos em terceiro lugar, perdendo para a Argentina e para o México, que conseguiu este ano levar uma fortíssima equipe.

A delegação brasileira teve como líder o professor Angelo Barone (USP) e como vice-líder o professor Carlos Gustavo Moreira (IMPA), ambos membros da Comissão de Olimpíadas da Sociedade Brasileira de Matemática.

A seguir transcrevemos as questões dessa Olimpíada.
 

Instruções:

Duração: 4 horas e 30 minutos

Cada problema tem valor máximo de 7 pontos.

1.  Seja  n  um número natural. Um cubo de aresta  n  pode ser dividido em 1996 cubos cujas arestas são também números naturais. Determine o menor valor possível de  n.

2.  Seja  M  o ponto médio da mediana  AD  do triângulo  ABC  (D pertence ao lado BC). A reta  BM  corta o lado  AC  no ponto  N. Demonstre que  AB  é tangente à circunferência circunscrita ao triângulo  NBC  se, e só se, se verifica a igualdade

.

3.    Temos um tabuleiro quadriculado de    linhas e    colunas, onde    e  p  é um número primo. Para cada primo  p, dê um método para distribuir números  0  e  1, um número em cada casa do tabuleiro, de modo que em cada linha haja exatamente  k  números  0, em cada coluna haja exatamente  k  números  0  e, além disso, não haja nenhum retângulo, de lados paralelos aos lados do tabuleiro, com número  0 em seus quatro vértices.

  são números naturais, primos entre si e tais que

5.  Três fichas  A, B e C estão situadas, uma em cada vértice de um triângulo equilátero de lado  n.  Dividiu-se o triângulo em triangulinhos equiláteros de lado  1, tal como mostra a figura, no caso  .

Inicialmente todas as linhas da figura estão pintadas de azul. As fichas se deslocam pelas linhas, pintando de vermelho sua trajetória, de acordo com as duas regras seguintes:

( i )  Primeiro joga  A, depois  B, depois  C, depois  A  e assim sucessivamente, cada uma por sua vez. Em cada jogada, cada ficha percorre exatamente um lado de um triangulinho, de um extremo ao outro.

( ii )  Nenhuma ficha pode percorrer um lado de um triangulinho que já esteja pintado de vermelho; porém pode descansar em um extremo pintado, inclusive se já esteja outra ficha esperando aí sua vez.  

Foi realizada em agosto de 1996, em Natal, RN, a  7^a  Olimpíada de Matemática de Natal.

Divulgamos, a seguir, algumas das questões dessa Olimpíada.
 

SEGUNDO GRAU

Primeira Fase

� De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores?

� Dois hexágonos regulares estão: um inscrito e o outro circunscrito na mesma circunferência (veja figura abaixo). Se a área do hexágono menor for 3 cm², qual será, em centímetros quadrados, a área do maior?

� subconjunto de  E  com  p  elementos possui três inteiros consecutivos?

(a) 999      (b) 998     (c) 1333       (d) 1332        (e) 666

Segunda Fase

� Um estudante de Matemática disse para outro: Se você fizer uma pintura dos vértices de um polígono regular de 1995 lados, usando as cores vermelho ou verde, existirá sempre, qualquer que seja a pintura, três vértices de mesma cor que formarão um triângulo isósceles.

Como se explica isso?

� Uma caixa contém 100 bolas. Existem 30 vermelhas, 30 azuis e 30 verdes; as restantes são algumas pretas e algumas brancas. Se retirarmos as bolas da caixa sem olhar, qual é o menor número de bolas que devem ser retiradas para termos certeza que, de todas as escolhidas, no mínimo 10 são da mesma cor?

PRIMEIRO GRAU

Primeira Fase

� Clarita sobe uma escada de um em um ou de dois em dois, mas nunca de três em três batentes. Se deve subir uma escada de dez batentes pisando obrigatoriamente no sexto batente, onde há um descanso, de quantas maneiras pode fazê-lo?

� Quantas vezes por dia os ponteiros das horas e dos minutos formam um ângulo de noventa graus?

Segunda Fase

� Um pai e um filho são pescadores. Cada um tem um barco e vão ao mar no mesmo dia. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. Em quantos dias se encontrarão em casa pela primeira vez?

Informações: Prof. Benedito T. V. Freire.

                      Dep. de Matemática da UFRN, Campus Universitário - Natal, RN.

                      Telefone/Fax: 084 231.87.38