Neste pequeno livro de 94 páginas, o prof. Elon Lages Lima apresenta e classifica as isometrias da reta, do plano e do espaço. Escrito com a clareza que é habitual nos livros e artigos do autor, o livro preenche uma lacuna há muito existente na literatura de Geometria em português.

Isometrias são transformações que preservam distância entre pontos. Por que é importante conhecê-las? Os dois motivos a seguir me parecem suficientes:

Em primeiro lugar todo professor deve saber, de cada assunto, um pouco mais do que vai ensinar. Se tomarmos o conceito de congruência, por exemplo, que desempenha papel fundamental no ensino da Geometria, vemos que costumeiramente se diz que duas figuras são congruentes se é possível mover uma delas, sem deformá-la, até que ela coincida com a outra. Mas qual é o significado exato da operação “mover uma figura”? Para responder a essa pergunta, bem como para entender os vários critérios de congruência e o papel deles no desenvolvimento das idéias da Geometria, é necessária uma conceituação precisa das Isometrias.

Em segundo lugar um grande número de problemas e exercícios pode ser resolvido com o uso das isometrias e dos teoremas de classificação das isometrias da reta, do plano e do espaço. O leitor interessado pode olhar o problema proposto na RPM 21, pág. 5,  e a solução publicada na RPM 22, pág. 61. A solução fornecida pelos exercícios 10 e 11, pág. 48, do livro do prof. Elon é muitíssimo mais simples e elegante!

O livro está dividido em três partes, totalizando 12 capítulos; os 3 primeiros tratam da reta, os 4 seguintes do plano, e os 5 seguintes das isometrias do espaço. Após cada parte há exercícios muito bem escolhidos para completar o estudo da teoria vista nos capítulos correspondentes.

Em cada uma das partes é apresentado um teorema de classificação de isometrias, respectivamente em dimensão 1, 2 ou 3. Como o leitor deve estar acostumado, “classificar” em Matemática significa estabelecer uma lista básica de objetos, que descreva, em termos simples, qualquer objeto genérico de um certo conjunto mais amplo. Assim, vemos na primeira parte do livro que uma isometria da reta é uma translação, ou uma inversão em um ponto.

Na segunda parte são estudadas muitas propriedades das isometrias do plano, culminando com o teorema que afirma que essas isometrias são as inversões em retas, as rotações, as translações e as reflexões com deslizamentos. Em dimensão 3 o universo das isometrias é mais rico, existindo 6 tipos básicos, que incluem algumas transformações bem pouco conhecidas, como a isometria helicoidal. Até onde eu conheça este é o único texto em português que trata desse tema em nível elementar.

Aliás, é bom lembrar que o livro todo está escrito de forma elementar, sendo acessível até para estudantes do segundo grau que estejam interessados em Geometria.

Finalizando, o prof. Elon acertou em cheio, novamente! Recomendo esse livro aos leitores da RPM com toda convicção de que eles terão uma leitura agradável e instrutiva.  

Claudio Possani
IME - USP