134. O número natural N = 11 ^{. . .}122 ^{. . .}25 tem 2n algarismos. Os n 1 primeiros são iguais a 1, os n seguintes são iguais a 2 e o último é 5. Mostre que, para n 2, N é um quadrado perfeito e determine, em função de n, a raiz quadrada de N.

(Sugerido por Amadeu Carneiro de Almeida, Rio de Janeiro, RJ.)
 

135. Na figura, C₁ e C₂ são circunferências tangentes em P.

a)  Se uma reta corta C₁ e C₂ nos pontos A, B e C, D, respectivamente, mostre que APC e BPD são ângulos congruentes.

b) Se uma reta tangencia C₂ num ponto C e corta C₁, nos pontos A e B, mostre que PC é bissetriz do APB.

(Sugerido por Cláudio Arconcher, Jundiaí, SP.)
 

136. Na figura, ABCD é um quadrado e T um ponto qualquer, distinto de B, na semi-reta de origem A contendo B. Sejam E a intersecção das retas DT e BC e F a intersecção das retas AE e CT. Mostre que BF é perpendicular a ET.

(Sugerido por Antonio Carlos Rosso Júnior, SP.)

137. Considere o conjunto A de todas as combinações simples de 10 elementos em grupos de 5. Duas combinações distintas são escolhidas ao acaso no conjunto A. Determine as probabilidades de que elas:

a) não tenham nenhum elemento em comum;

b) tenham exatamente 4 elementos em comum.

1. Um homem entra numa livraria, compra Pequenos Golpes, que custa 20 reais, e paga com uma nota de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais e troca a nota de 100 por 10 notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 8 notas de 10 reais. Em seguida entra o jornaleiro dizendo que a nota de 100 reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra de 100. verdadeira. Sem o dinheiro do troco, sem o livro e sem a nota que deu ao jornaleiro, qual foi, afinal, o prejuízo do livreiro?

2. Num minizôo há alguns animais entre mamíferos, aves e répteis. O destaque é um casal de corujas de uma rara espécie. Há. ao todo, 10 cabeças e 22 patas, havendo menos bípedes do que quadrúpedes. Responda: quantos quadrúpedes e quantos bípedes há no minizôo?

3. Um professor pediu a um aluno que desenhasse na lousa L um pequeno retângulo LA (lousa do aluno). Para o professor ficou o resto da lousa LP, isto é, LP = L LA. Perguntou: Como você traçaria uma única rela que dividisse LA e LP, cada qual em duas partes de mesma área?

(Tirados dos números 30, 40 e 49 de Tendências do Vestibular, publicação da Gráfica Editora Guteplan.)

(Ver respostas no final desta seção)

126. No Liceu de Itapipoca existe uma sala onde 1994 cadeiras, numeradas consecutivamente de 1 a 1994, estão dispostas em círculo. Num determinado dia, 1994 estudantes, sentados um em cada cadeira, resolvem começar o seguinte jogo: o estudante sentado na cadeira 1 diz "sim" e permanece no jogo. O estudante sentado na cadeira 2 diz "não" e sai do jogo, e assim sucessivamente. isto é, cada estudante contradizendo o anterior. Aquele que diz "sim" permanece no jogo e aquele que diz "não" sai do jogo. O jogo termina quando resta um só estudante. Determine o número da cadeira na qual ele está sentado.

(Olimpíada Estadual de Matemática do Rio de Janeiro, 1994.)

Solução:

Seja N o número da cadeira do vencedor do jogo. Vamos enunciar dois fatos que podem ser facilmente verificados pelo leitor.

1) N é necessariamente ímpar.

2) Para que N seja igual a 1 é necessário e suficiente que o número de cadeiras seja da forma 2ⁿ com n inteiro positivo.

Como 1994 não é da forma 2ⁿ , temos N > l. No instante em que o vencedor diz "sim" pela

(Adaptado da solução publicada no livro

127. Na base AC de um triângulo isósceles ABC toma-se um ponto M qualquer. Sejam a e b, respectivamente, os comprimentos dos segmentos AM e MC. Considere as circunferências inscritas nos triângulos ABM e CBM. Determine, em função de a e b, a distância entre os pontos de tangência dessas circunferências com o lado BM.

Solução:

Temos

2x + 2t + 2v = AB + BM + a

2y + 2u+ 2z = BM + BC+ b

Como AB = BC, segue

2x + 2t + 2v a = 2y + 2u + 2z b

2(x y) = 2(u + z) 2(t + v) + a b

2(x y) = 2b 2a + a b

(Solução enviada por diversos leitores.)

128. Seja P um ponto qualquer no interior de um triângulo equilátero ABC. A partir de P construímos as perpendiculares PD, PE e P F aos lados BC, AC e AB, respectivamente.

Solução:

Traçamos por P paralelas aos lados do A ABC Como PE, PD, PF são alturas de triângulos equiláteros de lados a, b, c, respectivamente, então

Então PE + PD + PF =

(Solução enviada por José G. Lima Rodrigues, DF. Os leitores João L. A. Prado, SP, e Josivan A. da Silva, PB, observaram que vale o mesmo resultado se P estiver num dos lados do triângulo.)
 

129. O sorteio do jogo da Super Sena consiste na escolha de seis dezenas distintas escolhidas no conjunto S = {01, 02, ... , 48}. Para realizar o sorteio, a Caixa Econômica Federal utiliza duas esferas idênticas contendo bolas numeradas. A primeira esfera (da qual será extraído o algarismo das unidades) contém 10 bolas numeradas de 0 a 9. A segunda (da qual será extraído o algarismo das dezenas) contém cinco bolas numeradas de 0 a 4. O sorteio das dezenas premiadas consiste de seis etapas consecutivas e independentes, em cada uma das quais são extraídas duas bolas, uma de cada uma das duas urnas. A etapa será repetida se ocorrer qualquer uma das duas situações abaixo:

1) Forem sorteadas as dezenas 00 ou 49.

2) For sorteada uma dezena que já saiu em alguma etapa anterior.

Determine:

a) A probabilidade de que num sorteio não sejam necessárias repetições.

b) A probabilidade de que a quarta etapa precise ser repetida.

c) Sabendo que num sorteio completo apenas uma etapa precisou ser repetida uma única vez, qual é a probabilidade condicional de que tenha sido a terceira?

Solução:

a) Para que não sejam necessárias repetições existem 48 resultados possíveis para a 1.ª extração, 47 para a 2.ª, 46 para a 3.ª e assim sucessivamente até a 6.ª extração para a qual existirão 43 resultados favoráveis. Segue-se que a probabilidade de que não sejam necessárias repetições vale:

Portanto, com probabilidade aproximadamente igual a 43%, um sorteio da Super-Sena exigirá pelo menos uma repetição.

b) Se considerarmos o processo de sorteio no instante que antecede a realização da quarta etapa, é fácil ver que existem 5 resultados possíveis que exigirão sua repetição e portanto

c) Para j = l, 2, 3, ^{. . .} ,6 a probabilidade de que j-ésima etapa tenha sido a única etapa repetida vale:

Segue-se que a probabilidade de que uma única etapa tenha sido repetida é dada por

(Adaptada de soluções enviadas por vários leitores.)